"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Сложение целых чисел помогает находить общий результат, когда величины могут быть как положительными, так и отрицательными: например, при изменении температуры или счёта в игре. На координатной прямой положительное слагаемое ведёт вправо, отрицательное — влево. Для чисел одного знака складывают модули и сохраняют знак, а для разных знаков вычитают меньший модуль из большего. Знак ответа определяет слагаемое с большим модулем.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целые числа — это положительные числа, отрицательные числа и нуль. Их записывают, например, так: +4, −4, 0; на координатной прямой положительные числа лежат справа от нуля, а отрицательные — слева. Это помогает видеть, в какую сторону изменяется величина и где находится число относительно нуля.
Противоположные числа имеют равные модули и разные знаки: например, +5 и −5. Их сумма равна нулю, потому что одно число отстоит от нуля вправо на столько же, на сколько другое — влево. Понятие противоположных чисел помогает быстро узнавать слагаемые, которые взаимно уничтожаются.
Модуль целого числа — расстояние от точки, изображающей число, до нуля. Его обозначают вертикальными чертами: |−6| = 6 и |+6| = 6. Расстояние не может быть меньше нуля, поэтому модуль всегда неотрицателен; он показывает величину числа без учёта его знака.
Сумма целых чисел — результат сложения слагаемых, то есть чисел, которые складывают. В записи (−3) + (+8) = +5 числа −3 и +8 — слагаемые, знак + обозначает действие сложения, а +5 — сумму. Такое различение помогает не путать знак числа со знаком действия.
Сложение можно представить как движение по координатной прямой. Сначала найди точку, соответствующую первому слагаемому, затем прибавь второе: положительное слагаемое означает шаги вправо, отрицательное — влево. Направление связано со знаком числа: увеличение ведёт вправо, а уменьшение — влево. Точка, в которой остановились, показывает сумму.
Если оба слагаемых одного знака, их движения направлены одинаково. Например, при сложении двух положительных чисел путь целиком идёт вправо, а при сложении двух отрицательных — влево. Поэтому расстояния до нуля, то есть модули, складываются, а направление сохраняется. Именно поэтому (+7) + (+3) = +10, а (−7) + (−3) = −10.
При разных знаках слагаемые задают движения в противоположные стороны. Часть пути влево и часть пути вправо взаимно сокращаются, поэтому из большего модуля вычитают меньший. Оставшееся движение направлено туда, куда вело слагаемое с большим модулем. Например, у −9 модуль больше, чем у +4, значит, после сокращения останется движение влево.
Противоположные числа — частный случай сложения разных знаков: модули у них равны. Одно движение полностью уравновешивает другое, и остатка не остаётся, поэтому сумма равна нулю. Это согласуется с правилом вычитания модулей: их разность равна нулю, а выбирать знак результата уже не требуется.
У сложения целых чисел сохраняются переместительное и сочетательное свойства. Переместительное означает, что a + b = b + a; сочетательное — что (a + b) + c = a + (b + c). Их можно применять, потому что перестановка и группировка не меняют суммарное движение, если знаки чисел остаются прежними. Нуль — нейтральное слагаемое: a + 0 = a, так как он не задаёт движения.
| Случай | Как найти сумму | Пример |
|---|---|---|
| Оба слагаемых положительные | Сложить модули и поставить знак «+» | (+7) + (+3) = +10 |
| Оба слагаемых отрицательные | Сложить модули и поставить знак «−» | (−7) + (−3) = −10 |
| Слагаемые имеют разные знаки | Из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем | (−9) + (+4) = −5 |
| Слагаемые противоположные | Сумма равна нулю | (−6) + (+6) = 0 |
| Одно слагаемое равно нулю | Сумма равна другому слагаемому | (−8) + 0 = −8 |
Сначала определи, одинаковы ли знаки у слагаемых, и только потом выбирай правило. Для разных знаков сравни модули, чтобы не ошибиться со знаком ответа. Если модули равны или одно из слагаемых — нуль, используй соответствующую строку таблицы.
Оба числа отрицательные, поэтому движения направлены в одну сторону — влево. Их модули равны 8 и 5, значит, расстояния складываются. Общий знак остаётся отрицательным, так как оба слагаемых отрицательные.
Ответ: (−8) + (−5) = −13.
У слагаемых разные знаки, поэтому их движения направлены навстречу друг другу. Сравним модули: 19 больше 12, значит, после взаимного сокращения останется движение в сторону отрицательного числа. Для величины оставшегося движения нужно найти разность модулей.
Ответ: (+12) + (−19) = −7.
В выражении несколько положительных и отрицательных слагаемых. Чтобы считать удобнее, сгруппируем числа по знакам: это разрешает сочетательное свойство, а перестановку — переместительное. Знаки самих чисел при этом сохраняются. Сначала найдём общий положительный и общий отрицательный вклад, а затем сложим полученные числа.
Ответ: −7 + 15 + (−6) + 3 = 5.
При сложении двух отрицательных чисел иногда вычитают меньший модуль из большего. Так ошибаются, перенося правило для слагаемых разных знаков на числа одного знака. Проверь направления: оба числа ведут влево, значит, расстояния складываются, а итог остаётся отрицательным.
В сумме чисел разных знаков могут поставить знак первого слагаемого. Но результат зависит не от порядка записи, а от того, какое число сильнее по модулю. Сравни модули и возьми знак числа с большим; для проверки можно переставить слагаемые — сумма не должна измениться.
Модуль отрицательного числа иногда записывают отрицательным или принимают за противоположное число. Модуль — это расстояние, а противоположное число получается сменой знака: у −6 модуль равен 6, противоположное число — +6. Проверь себя по определению: расстояние от точки до нуля не может быть отрицательным.
При перестановке или группировке слагаемых можно случайно изменить знаки чисел. Переместительное и сочетательное свойства меняют только порядок и расположение скобок, а не сами слагаемые. Сверь исходные числа с новой записью: каждое должно остаться с прежним знаком, иначе изменилась задача.
Чтобы складывать целые числа, нужно уметь отмечать их на координатной прямой, различать положительные и отрицательные числа, находить противоположные числа и модули. Эти знания объясняют направление движения и выбор знака суммы. Правила сложения затем помогают выполнять вычитание целых чисел, раскрывать скобки и решать уравнения. Они применяются и в задачах об изменении температуры, высоте, прибыли и убытке.
Почему при сложении двух отрицательных чисел ответ становится ещё меньше?
Каждое отрицательное слагаемое задаёт движение влево по координатной прямой. Два таких движения уводят точку дальше от нуля в отрицательную сторону, поэтому модули складываются, а знак остаётся отрицательным.
Как определить знак суммы чисел разных знаков?
Сравни модули слагаемых. Сумма получает знак того числа, модуль которого больше, потому что его направление движения по координатной прямой перевешивает другое.
Что делать, если модули слагаемых равны?
Если слагаемые имеют разные знаки и равные модули, они противоположные. Их движения уравновешивают друг друга, поэтому сумма равна нулю.
Можно ли переставлять слагаемые местами, если среди них есть отрицательные числа?
Да, целые числа можно складывать в любом порядке: от перестановки слагаемых сумма не меняется. При перестановке меняется место числа, но не его знак.
Как сложить несколько целых чисел, если знаки у них разные?
Можно сгруппировать положительные слагаемые отдельно от отрицательных и сложить числа в каждой группе. Затем сложи полученные результаты по правилу для разных знаков: вычти меньший модуль из большего и сохрани знак большего по модулю числа.
2.4. Сложение целых чисел
