"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
При сложении целых чисел можно менять слагаемые местами и объединять их в группы, не меняя сумму. Эти свойства помогают находить противоположные числа и ноль, а затем упрощать вычисления. Например, в сумме из нескольких чисел удобно сначала соединить пары, сумма которых равна нулю. Зная законы сложения, легче считать и преобразовывать выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переместительный закон сложения означает, что от перестановки слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a. Например, −4 + 9 и 9 + (−4) дают один результат. Закон нужен, чтобы выбирать удобный порядок вычислений.
Сочетательный закон сложения позволяет по-разному объединять слагаемые в группы: (a + b) + c = a + (b + c). Скобки показывают, какие числа складывают сначала, но итог остаётся тем же. Это свойство помогает начать с удобной пары чисел.
Числа a и −a называют противоположными: у них одинаковое расстояние от нуля, но разные знаки. Их сумма равна нулю: a + (−a) = 0. Это удобно, когда в выражении встречаются числа, которые могут взаимно сократиться.
Ноль — нейтральный элемент сложения, потому что его прибавление не меняет число: a + 0 = a. Это правило работает и при сложении отрицательных чисел. Поэтому нулевое слагаемое можно не учитывать при вычислении.
На числовой прямой сложение можно представить как перемещение. Если к числу прибавить положительное слагаемое, нужно двигаться вправо, а если отрицательное — влево. При перестановке двух слагаемых меняется порядок этих перемещений, но суммарный путь приводит в ту же конечную точку. Поэтому сумма остаётся прежней.
При сложении трёх целых чисел не обязательно выполнять действия только слева направо. Можно сначала вычислить сумму любых двух слагаемых, а потом прибавить третье. Так происходит потому, что результат зависит от всех перемещений вместе, а не от того, какие из них объединили первыми. Скобки меняют порядок вычислений, но не конечное положение на числовой прямой.
Переместительный и сочетательный законы помогают выбирать удобный порядок работы. Например, в сумме 18 + (−7) + 2 можно сначала сложить 18 и 2, получив 20, а затем вычесть 7. Положительные числа удобно объединять между собой, а отрицательные — между собой, если так проще. Можно также подобрать пару, сумма которой равна нулю.
Противоположные слагаемые взаимно уничтожаются: a + (−a) = 0. На числовой прямой одно такое число задаёт движение в одну сторону, а другое — на столько же в противоположную. В результате мы возвращаемся в исходную точку. Поэтому в длинной сумме пару противоположных чисел можно заменить нулём, а затем не учитывать ноль.
Ноль можно добавить к сумме или убрать из неё без изменения результата. Причина в том, что прибавление нуля не задаёт перемещения по числовой прямой. Например, −5 + 0 остаётся равным −5. Если после сокращения противоположных слагаемых получился ноль, он не влияет на дальнейший подсчёт.
| Закон или свойство | Запись | Как использовать |
|---|---|---|
| Переместительный закон | a + b = b + a | Менять слагаемые местами |
| Сочетательный закон | (a + b) + c = a + (b + c) | Выбирать удобную группировку |
| Сумма противоположных чисел | a + (−a) = 0 | Сокращать противоположные слагаемые |
| Сложение с нулём | a + 0 = a | Не учитывать нулевое слагаемое |
Сначала найди в выражении слагаемые, которые удобно объединить: противоположные числа или числа с простой суммой. Затем при необходимости переставь их и расставь скобки. Проверяй, что знаки чисел при перестановке не изменились.
Здесь складываются отрицательное и положительное числа. Чтобы было удобнее считать, поставим положительное слагаемое первым, не меняя сами числа. Это разрешено переместительным законом, а сумма останется той же.
Ответ: 5.
В выражении есть 27 и −27 — противоположные числа. Их сумма равна нулю, поэтому выгодно объединить именно эту пару, а не считать слагаемые по порядку. Переставим числа и сгруппируем их по сочетательному закону.
Ответ: −19.
Здесь можно заметить сразу две пары противоположных чисел: −36 и 36, а также 14 и −14. Если сложить их отдельно, каждая пара даст ноль. Для этого переставим слагаемые и объединим их в удобные группы, не меняя общей суммы.
Ответ: 9.
Ошибка: считать, что перестановка слагаемых меняет знак числа. Закон меняет только порядок записи, а не значения и знаки слагаемых. Такое заблуждение часто возникает из-за того, что при вычитании знак действительно связан с действием. Проверь себя: после перестановки выпиши те же самые числа со знаками, что были в начале.
Ошибка: путать переместительный и сочетательный законы. Первый меняет порядок слагаемых, а второй — способ их группировки. Их путают, потому что оба закона позволяют записать выражение иначе. Проверь, что именно изменилось: места чисел или скобки вокруг них.
Ошибка: считать, что сумма противоположных чисел равна единице. Противоположные числа дают ноль, ведь перемещения на одинаковое расстояние в разные стороны взаимно компенсируются. Ошибка может появиться при невнимательном подсчёте. Для проверки сложи, например, 6 и −6: после движения на 6 вправо и на 6 влево вернёшься к нулю.
Ошибка: применять сочетательный закон прямо к вычитанию. Этот закон относится к сложению, поэтому сначала разность нужно представить как сумму противоположного числа: a − b = a + (−b). Если этого не сделать, можно неверно сгруппировать выражение или потерять знак. Для проверки замени каждое вычитание сложением и только потом расставляй скобки.
Перед изучением законов нужно уметь складывать положительные и отрицательные целые числа, а также находить число, противоположное данному. Эти знания позволяют понять, какие слагаемые удобно соединить и почему некоторые пары дают ноль. Законы сложения пригодятся при упрощении выражений и вычислении сумм нескольких целых чисел. Чтобы применять их к разности, сначала заменяй вычитание сложением противоположного числа.
Можно ли менять местами слагаемые, если они отрицательные?
Да. Переместительный закон действует для любых целых чисел, в том числе отрицательных. При перестановке меняется только порядок слагаемых, а их знаки остаются прежними.
Чем переместительный закон отличается от сочетательного?
Переместительный закон позволяет менять слагаемые местами: a + b = b + a. Сочетательный закон позволяет по-разному группировать слагаемые: (a + b) + c = a + (b + c).
Почему сумма числа и противоположного ему числа равна нулю?
Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Их перемещения по числовой прямой взаимно компенсируются, поэтому a + (−a) = 0.
Можно ли сначала сложить любые два слагаемых в сумме из нескольких чисел?
Да, по сочетательному закону можно выбрать любую пару и сначала найти её сумму. Часто удобнее объединять числа, которые дают ноль или простое число.
Как представить вычитание как сложение, чтобы применить законы сложения?
Вычитание числа заменяют сложением противоположного ему числа: a − b = a + (−b). Например, 7 − 3 = 7 + (−3). После этого можно применять законы сложения.
2.5. Законы сложения целых чисел
