2.6. Разность целых чисел

Определения и обозначения

В записи a − b число a называется уменьшаемым: именно из него вычитают другое число. Число b называется вычитаемым: его нужно вычесть из уменьшаемого. Например, в записи 9 − 4 уменьшаемое — 9, а вычитаемое — 4. Эти названия помогают не перепутать числа при замене вычитания сложением.

Разность целых чисел — это результат вычитания одного целого числа из другого. Например, в равенстве 9 − 4 = 5 число 5 является разностью. Вычитание — действие, обратное сложению: если к разности прибавить вычитаемое, получится уменьшаемое. Эта связь позволяет выполнять вычитание через сложение.

Противоположные числа имеют одинаковые модули, но разные знаки, например 6 и −6. Модуль показывает расстояние числа от нуля, поэтому у таких чисел это расстояние одно и то же. Их сумма равна нулю: 6 + (−6) = 0. Это свойство пригодится, когда нужно заменить вычитаемое противоположным числом.

Чтобы вычесть число, нужно прибавить число, противоположное ему. Так, вместо 7 − 3 можно записать 7 + (−3), а вместо 7 − (−3) — 7 + 3. При этом уменьшаемое остаётся прежним, а противоположным становится только вычитаемое. Это правило превращает все примеры на вычитание целых чисел в примеры на сложение.

Как это устроено

Вычитание связано со сложением потому, что эти действия помогают проверять друг друга. Если a − b = c, то c + b = a: к результату вычитания прибавляют число, которое вычитали, и возвращаются к уменьшаемому. Значит, разность — это такое число c, которое при сложении с b даёт a. Чтобы найти его сложением, к a нужно прибавить число, которое в сумме с b даст ноль, то есть противоположное число −b.

Отсюда получается правило a − b = a + (−b). Вычитаемое b заменяют противоположным ему числом −b, потому что b + (−b) = 0. Знак вычитания после этого становится знаком сложения: теперь нужно сложить два числа. Меняется только вычитаемое, иначе вместо нужной разности получится другое выражение.

Если вычитают положительное число, его противоположное будет отрицательным. Например, 5 − 8 превращается в 5 + (−8). При сложении чисел с разными знаками сравнивают их модули: 8 больше 5, поэтому результат будет отрицательным. Разность равна −3, и это можно проверить: −3 + 8 = 5.

Если вычитают отрицательное число, его противоположным будет положительное число. Поэтому 5 − (−8) превращается в 5 + 8 и равно 13. Такой результат получается не потому, что два минуса просто «убираются», а потому, что вычитаемое −8 заменяется противоположным ему числом 8. Знак вычитания заменяется сложением согласно общему правилу.

На числовой прямой прибавление числа задаёт направление движения: при прибавлении положительного числа идут вправо, при прибавлении отрицательного — влево. Вычитание числа равносильно движению в противоположном направлении. Поэтому вычитание положительного числа ведёт влево, а вычитание отрицательного — вправо. Например, от точки 5 при вычитании 8 перемещаются на 8 единиц влево, а при вычитании −8 — на 8 единиц вправо.

Как заменить вычитание целых чисел сложением

В таблице показано, как применить общее правило к разным вычитаемым. Сначала найди нужную строку и замени вычитание сложением противоположного числа. Затем вычисли получившуюся сумму по правилам сложения целых чисел.

Разбор задач

Задача. Вычислите 9 − 14. Здесь вычитаемое 14 положительное, поэтому при замене вычитания его нужно представить противоположным числом −14. Получится сумма чисел с разными знаками.

1. Заменяем вычитание сложением противоположного числа: 9 − 14 = 9 + (−14).
2. Сравниваем модули: 14 больше 9, значит, сумма будет отрицательной.
3. Вычитаем меньший модуль из большего: 14 − 9 = 5, поэтому 9 + (−14) = −5.

Ответ: −5. Проверка: −5 + 14 = 9, значит, результат соответствует связи вычитания со сложением.

Задача. Вычислите −7 − (−12). Вычитаемое здесь отрицательное, поэтому его противоположное число положительное. После замены нужно сложить отрицательное и положительное числа.

1. Заменяем вычитание вычитаемого −12 прибавлением противоположного числа 12: −7 − (−12) = −7 + 12.
2. Сравниваем модули чисел: 12 больше 7, поэтому сумма будет положительной.
3. Находим разность модулей: 12 − 7 = 5, следовательно, −7 + 12 = 5.

Ответ: 5. Проверка: 5 + (−12) = −7, то есть при прибавлении вычитаемого мы получили уменьшаемое.

Задача. Температура была −6 °C, а затем повысилась на 9 °C. Нужно узнать, на сколько градусов прежняя температура меньше новой. Сначала найдём новую температуру, а затем вычтем из неё прежнюю, отрицательную.

1. Находим новую температуру: −6 + 9 = 3 °C.
2. Записываем разность новой и прежней температуры: 3 − (−6).
3. Заменяем вычитание отрицательного числа сложением: 3 − (−6) = 3 + 6 = 9.

Ответ: прежняя температура меньше новой на 9 °C. Проверка по смыслу: температура изменилась с −6 °C до 3 °C, то есть прошла 6 градусов до нуля и ещё 3 после него.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при вычитании отрицательного числа результат обязательно будет отрицательным. Её допускают, когда ориентируются на знак вычитаемого, а не выполняют замену по правилу: a − (−b) = a + b. Перед вычислением перепиши выражение как сумму и только потом определи знак результата. Например, 5 − (−8) = 13, а не отрицательное число.

Ошибка: менять знак уменьшаемого вместо вычитаемого. Так бывает, если не различать числа по их роли в записи и механически менять знак первого числа. Проверь, какое число стоит после знака вычитания: только его заменяют противоположным. Например, −7 − 12 превращается в −7 + (−12), а не в 7 + (−12).

Ошибка: записывать a − b как a + b. При такой записи вычитаемое не заменено противоположным числом, поэтому правило нарушается. Перед сложением поставь перед вычитаемым противоположный знак: a − b = a + (−b). Проверить себя можно на простом примере: 7 − 3 = 4, тогда как 7 + 3 = 10.

Ошибка: терять скобки в выражении a − (−b) и воспринимать два минуса как один. Из-за этого можно забыть, что вычитаемое — отрицательное число, которое нужно заменить противоположным. Сначала перепиши выражение: a − (−b) = a + b, а затем считай. Например, 7 − (−10) = 7 + 10 = 17.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно вычитать целые числа, нужно знать, какие числа являются целыми, как находить противоположные числа и как складывать числа с разными знаками. Именно правило сложения понадобится после того, как вычитание будет заменено суммой. Если эти действия пока вызывают трудности, сначала повтори их на простых примерах.

Правило вычитания используется и дальше: при вычислениях с рациональными числами, раскрытии скобок и решении уравнений. Рациональные числа включают, например, дроби, а принцип замены вычитания сложением остаётся тем же. Умение верно менять вычитание на сложение помогает не путать знаки в длинных выражениях.

Что запомнить

• Вычитание целых чисел можно заменить сложением.
• Чтобы вычесть число, прибавь противоположное ему.
• a − b = a + (−b).
• Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного.
• Вычитание нуля не изменяет число.
• Разность числа с самим собой равна нулю.