2.7. Произведение целых чисел

Определения и обозначения

Целые числа — это натуральные числа, ноль и отрицательные числа: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Значит, при умножении можно встретить любой знак и нуль. Это нужно учитывать, потому что знак результата зависит от множителей.

Множители — числа, которые перемножают. В записи a · b числа a и b являются множителями. Этот термин помогает отличать сами числа от результата их умножения.

Произведение целых чисел — результат умножения целых чисел. Его записывают как a · b или без знака умножения: ab. По произведению можно узнать общий результат действия, а не только отдельные множители.

Правило знаков показывает, какой знак получит произведение. Одинаковые знаки дают плюс, а разные — минус; если есть нулевой множитель, результат равен нулю. Благодаря этому вычисление удобно разделить на два шага: знак и величина результата.

Как это устроено

Умножение положительного целого числа связано с повторным сложением: 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3. Если умножается отрицательное число, например (−3) · 4, складываются четыре одинаковых отрицательных числа: (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −12. Поэтому отрицательное число, умноженное на положительное, даёт отрицательный результат.

Чтобы понять случай двух отрицательных множителей, используем распределительное свойство. Пусть a и b положительны; тогда (−a) · (b + (−b)) = 0, потому что сумма в скобках равна нулю. Раскрываем скобки: (−a) · b + (−a) · (−b) = −ab + (−a) · (−b) = 0, значит, второе слагаемое равно ab и положительно.

Так получается правило для двух ненулевых целых чисел: одинаковые знаки дают положительное произведение, а разные — отрицательное. Знак не зависит от того, какое число больше по модулю. Сначала сравнивать величины не нужно: достаточно посмотреть на знаки множителей.

Модуль произведения находят отдельно от его знака: |a · b| = |a| · |b|. Например, в произведении (−6) · 5 модули равны 6 и 5, поэтому модуль результата равен 30, а разные знаки дают −30. Такой способ удобен, потому что с модулями работают как с обычными неотрицательными числами.

У нуля есть особое свойство: a · 0 = 0 при любом целом a. Умножение на 1 не меняет число: a · 1 = a, а умножение на −1 меняет его знак: a · (−1) = −a. Эти случаи полезны для быстрой проверки и упрощения выражений.

Знак и значение произведения целых чисел

Сначала найдите строку, которая подходит по знакам множителей. Затем перемножьте их модули, если среди множителей нет нуля. В последней строке вычисления прекращаются сразу: нулевой множитель делает всё произведение равным нулю.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 6 · (−4).

Множители 6 и −4 имеют разные знаки, поэтому произведение будет отрицательным. Теперь найдём его модуль, перемножив модули множителей. Осталось поставить перед полученным числом определённый знак.

1. Определяем знак: знаки разные, значит, результат отрицательный.
2. Находим модули: |6| · |−4| = 6 · 4 = 24.
3. Соединяем знак и модуль: 6 · (−4) = −24.

Ответ: −24. Проверка: отрицательное число по модулю 24 действительно получается при умножении чисел разных знаков.

Задача 2. Вычислите (−7) · (−8).

Оба множителя отрицательные, значит, результат положительный. Для величины результата достаточно перемножить 7 и 8, потому что модуль каждого отрицательного числа записывается без знака. Затем соединяем положительный знак с найденным числом.

1. Определяем знак: знаки одинаковые, поэтому произведение положительное.
2. Перемножаем модули: |−7| · |−8| = 7 · 8 = 56.
3. Записываем результат: (−7) · (−8) = 56.

Ответ: 56. Ошибка со знаком здесь особенно распространена: два минуса при умножении не оставляют минус, а дают плюс.

Задача 3. Вычислите (−12) · 5 · (−3).

В выражении три множителя, поэтому можно действовать слева направо или сначала сгруппировать удобные числа. Сначала заметим, что два отрицательных множителя в итоге дадут положительный знак, а множитель 5 знак не меняет. Удобно перемножить −12 и −3, а затем умножить результат на 5.

1. Группируем отрицательные множители: (−12) · (−3) = 36, потому что их знаки одинаковы, а 12 · 3 = 36.
2. Умножаем полученное число на 5: 36 · 5 = 180.
3. Записываем итог: (−12) · 5 · (−3) = 180.

Ответ: 180. При последовательном вычислении получится тот же результат: (−12) · 5 = −60, затем (−60) · (−3) = 180.

Типичные ошибки

Иногда считают, что произведение двух отрицательных чисел отрицательно. Так происходит из-за привычки видеть два знака «минус» и оставлять один из них. Проверьте себя правилом: одинаковые знаки при умножении дают положительный результат.

Нельзя ставить знак по величине множителей. Число с большим модулем не «перетягивает» знак на себя, потому что знак определяется только знаками множителей. Сначала уберите модули и сравните именно плюсы и минусы.

При множителях разных знаков иногда получают положительный результат. Ошибка появляется, если перемножить модули и забыть вернуть знак. Запишите отдельно: «знак — отрицательный», затем вычислите модуль и поставьте минус.

Некоторые считают, что умножение на ноль оставляет второй множитель. Такое смешение возникает с умножением на единицу, ведь только 1 не меняет число. Если хотя бы один множитель равен нулю, сразу запишите результат 0.

Связь с другими темами

Перед изучением произведения целых чисел нужно уметь сравнивать целые числа, находить противоположное число и модуль. Эти навыки помогают понять расположение чисел на координатной прямой и отделить знак от величины. Особенно важен модуль: он показывает расстояние от числа до нуля.

Правила умножения понадобятся при вычислении значений выражений и раскрытии скобок. Они также используются при решении уравнений, где неизвестное число может быть отрицательным. Уверенное определение знака уменьшает число ошибок в длинных вычислениях.

Что запомнить

• Модуль произведения равен произведению модулей множителей.
• Множители одинаковых знаков дают положительное произведение.
• Множители разных знаков дают отрицательное произведение.
• Произведение любого целого числа на ноль равно нулю.
• Произведение числа на 1 равно этому числу.
• Произведение числа на −1 — число, противоположное данному.