2.8. Частное целых чисел

Определения и обозначения

Деление — действие, при котором по делимому и делителю находят частное. Делимое — число, которое делят, а делитель — число, на которое делят. Это различие помогает правильно прочитать запись: в выражении −24 : 6 число −24 является делимым, а 6 — делителем.

Частное — результат деления. Запись a : b читают «a разделить на b», где a — делимое, b — делитель; делитель не может быть равен нулю. Частное показывает, какое число нужно умножить на делитель, чтобы получить делимое. Например, 20 : 5 = 4, потому что 4 · 5 = 20.

Модуль числа — расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Его обозначают вертикальными чертами: |−7| = 7 и |7| = 7, поэтому модуль всегда неотрицателен. При делении целых чисел модули помогают сначала найти величину частного, а уже потом определить его знак.

Частное целых чисел получают, деля одно целое число на другое ненулевое целое число. Сам результат не всегда целый: например, 3 : 2 = 1,5. Это понятие нужно, чтобы выполнять деление чисел с разными знаками и точно записывать результат, даже если он не является целым.

Как это устроено

Чтобы разделить целые числа, сначала найди частное их модулей. Например, при делении −24 на 6 сначала вычисляют 24 : 6 = 4. Так проще, потому что модули — обычные неотрицательные числа, а знак можно определить отдельно. Если модули делимого и делителя делятся нацело, величина частного будет целой.

Знак частного зависит от знаков делимого и делителя. Если знаки одинаковые, частное положительное: например, (−24) : (−6) = 4. Если знаки разные, частное отрицательное: (−24) : 6 = −4. Это правило связано с умножением: умножение частного на делитель должно вернуть делимое, а при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, с разными — отрицательное.

Ноль, разделённый на любое ненулевое число, равен нулю: 0 : 8 = 0 и 0 : (−8) = 0. Ведь 0 · 8 = 0 и 0 · (−8) = 0, так что правило проверки выполняется. Деление на ноль невозможно: не существует числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое. Поэтому в записи a : b всегда требуется условие b ≠ 0.

Деление не всегда даёт целое число, даже если оба числа целые. Например, 3 : 2 = 1,5, потому что 1,5 · 2 = 3. В таком случае знак определяют по тому же правилу, что и при делении с целым результатом: (−3) : 2 = −1,5, а (−3) : (−2) = 1,5. Не нужно округлять частное, если в задаче не просят найти приближённое значение.

Деление связано с умножением обратным действием. Чтобы проверить найденное частное, умножь его на делитель: должно получиться делимое. Например, если −35 : 7 = −5, то проверка выглядит так: −5 · 7 = −35. Такая проверка помогает заметить ошибку в знаке или в величине частного.

При вычислении удобно действовать в одном порядке: отделить знаки, разделить модули, затем поставить знак результата. Например, для 42 : (−7) сначала находят 42 : 7 = 6, а потом ставят минус, потому что знаки разные. Получается −6. Такой порядок не даёт смешать вычисление величины частного с определением его знака.

Знаки частного целых чисел

В таблице собраны все сочетания знаков делимого и делителя. Знак «+» означает положительное частное, а знак «−» — отрицательное. Ноль и деление на ноль рассмотрены отдельно, потому что для них нужно помнить особые правила.

Сначала найди строку с нужными знаками, чтобы узнать знак частного, а затем раздели модули чисел. Например, для отрицательного делимого и положительного делителя частное будет отрицательным. Если делимое равно нулю, а делитель не равен нулю, ответ равен нулю.

Разбор задач

Задача. Найди значение выражения (−84) : 12 и проверь результат умножением. Здесь делимое отрицательное, а делитель положительный, поэтому результат должен быть отрицательным. Сначала определим величину частного, а затем проверим оба элемента ответа — число и знак.

1. Определи знаки чисел. Делимое −84 отрицательное, делитель 12 положительный, значит, знаки разные. Следовательно, частное будет отрицательным.

2. Раздели модули чисел: |−84| : |12| = 84 : 12 = 7. Получили величину частного, пока не учитывая его знак. Деление выполняется нацело, поэтому дополнительных дробных частей в ответе нет.

3. Поставь перед результатом минус, потому что знаки делимого и делителя разные. Получаем (−84) : 12 = −7. Это и есть искомое частное.

4. Проверь ответ умножением: −7 · 12 = −84. Результат совпал с делимым, значит, частное найдено верно. Если бы получилось 84, это указывало бы на ошибку в знаке.

Ответ: −7.

Задача. Найди значение выражения (−15) : (−4). Оба числа отрицательные, значит, результат будет положительным. При этом 15 не делится на 4 нацело, поэтому важно оставить точное значение, а не округлять его без просьбы.

1. Сравни знаки делимого и делителя. Они одинаковые, поэтому частное положительное.

2. Раздели модули: 15 : 4 = 3,75. В десятичной записи это точное число, потому что 3,75 · 4 = 15.

3. Запиши частное с положительным знаком: (−15) : (−4) = 3,75. Знак «+» обычно не пишут, поэтому ответ выглядит просто как 3,75.

4. Проверь результат: 3,75 · (−4) = −15. Получилось исходное делимое, следовательно, частное верно.

Ответ: 3,75.

Типичные ошибки

• Неверно определяют знак частного. Иногда считают, что при делении любых отрицательных чисел ответ отрицательный, потому что замечают знак минус и не сравнивают знаки обоих чисел. Одинаковые знаки дают положительное частное, разные — отрицательное. Проверь ответ умножением: произведение частного и делителя должно вернуть делимое.

• Делят на ноль. Ошибку допускают, перенося на деление правило о том, что ноль можно использовать как число в вычислениях. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое. Перед вычислением проверь делитель: если он равен нулю, выражение не имеет значения.

• Считают, что ноль нельзя делить. Ноль можно разделить на любое ненулевое число, и результат будет нулём. Путают это с запрещённым делением на ноль, потому что в обоих случаях встречается 0. Проверь, где стоит ноль: делимое может быть нулём, а делитель — нет.

• Округляют частное, хотя этого не требуется. Если деление не выполняется нацело, ответ может быть дробным, например 5 : 2 = 2,5. Его иногда заменяют целым числом, теряя точность. Проверь умножением: округлённое число обычно не даст исходное делимое.

• Забывают учесть минус при делении модулей. Модули дают только величину частного, поэтому одного вычисления с ними недостаточно. Такая ошибка возникает, когда считают, что знак уже учтён в модуле. После деления модулей отдельно сравни знаки делимого и делителя.

Связь с другими темами

Деление целых чисел связано с умножением: умножение частного на делитель позволяет проверить ответ. Для определения знака используется то же правило, что и при умножении: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Поэтому знание таблицы умножения и правил знаков помогает быстрее выполнять деление.

Модуль связывает деление с числовой прямой: он показывает расстояние числа от нуля и помогает найти величину частного. Деление также продолжает изучение дробей и десятичных чисел, потому что частное целых чисел не всегда целое. Например, 3 : 2 можно записать как 1,5.

Что запомнить

• Делимое делят на делитель и получают частное; делитель не должен быть равен нулю.

• Сначала раздели модули чисел, затем определи знак частного.

• Одинаковые знаки дают положительное частное, разные знаки — отрицательное.

• Ноль, разделённый на ненулевое число, равен нулю; делить на ноль нельзя.

• Проверяй деление умножением: частное · делитель = делимое.