"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Распределительный закон связывает умножение со сложением и вычитанием: он позволяет умножить число на каждое слагаемое в скобках, а затем сложить или вычесть результаты. С его помощью раскрывают скобки, выносят общий множитель и упрощают буквенные выражения. Закон полезен и при устном счёте: можно заменить длинное вычисление более удобным, но равным ему выражением. Главное — умножать на каждое слагаемое и сохранять знак между ними.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределительный закон умножения относительно сложения: произведение суммы на число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число. Это записывают так: (a + b) · c = a · c + b · c. Буквы обозначают числа, а слагаемыми называются числа, которые складывают. Закон нужен, чтобы заменить умножение суммы на два отдельных умножения.
Распределительный закон умножения относительно вычитания: произведение разности на число равно разности произведений уменьшаемого и вычитаемого на это число. Формула имеет вид (a − b) · c = a · c − b · c. Уменьшаемое — число, из которого вычитают, а вычитаемое — число, которое вычитают. Эта запись помогает умножать разность, не теряя порядок действий и знак минус.
Раскрытие скобок — применение распределительного закона для записи произведения без скобок. Например, запись 4 · (x + 2) превращается в 4 · x + 4 · 2. Скобки убирают только после того, как умножили внешний множитель на каждый член внутри. Так становится проще выполнять вычисления или преобразовывать буквенные выражения.
Вынесение общего множителя за скобки — обратное применение распределительного закона, при котором общий множитель записывают перед скобками. Например, в сумме 6 · a + 6 · b общий множитель 6 можно вынести: 6 · (a + b). В скобках остаются части слагаемых, которые не вынесли. Этот приём превращает несколько похожих произведений в одно произведение.
Представь прямоугольник, разделённый на две части: ширина у них одинаковая, а длины равны a и b. Площадь всего прямоугольника можно найти как произведение ширины c на общую длину a + b. Если найти площади частей отдельно, получатся a · c и b · c, а их сумма будет равна площади целого. Поэтому (a + b) · c = a · c + b · c: закон выражает равенство двух способов подсчёта одной площади.
Из этого рассуждения получается правило умножения суммы на число. Сумма a + b состоит из двух частей, и при умножении на c нужно учесть каждую из них: сначала получить a · c, затем b · c. После этого результаты складывают, потому что части вместе составляют исходную сумму. Например, 3 · (5 + 2) можно заменить на 3 · 5 + 3 · 2.
Разность можно представить как сумму уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому: a − b = a + (−b). Если умножить эту сумму на c, получим a · c + (−b) · c, то есть a · c − b · c. Минус остаётся, потому что вычитаемое по-прежнему вычитается; меняется только способ умножения. Поэтому при раскрытии скобок из разности нельзя превращать минус в плюс.
Обратный ход начинается с поиска одинакового множителя в слагаемых. В выражении 8 · 3 + 8 · 5 число 8 есть в обоих произведениях, поэтому его можно записать перед скобками: 8 · (3 + 5). Внутри остаются множители 3 и 5, а не исходные произведения целиком. Проверка простая: снова раскрой скобки и убедись, что получилась исходная запись.
Распределительный закон помогает считать, если удаётся заменить исходные числа более удобными. Например, вместо 7 · 19 можно вычислить 7 · (20 − 1): получится 7 · 20 − 7 · 1. Такой выбор полезен, потому что умножать на круглое число обычно легче. Можно также вынести общий множитель из суммы произведений, чтобы сначала выполнить сложение, а затем одно умножение.
| Ситуация | Запись | Что сделать |
|---|---|---|
| Умножение суммы на число | (a + b) · c = a · c + b · c | Умножить каждое слагаемое на c и сложить результаты |
| Умножение разности на число | (a − b) · c = a · c − b · c | Умножить оба числа на c и сохранить минус |
| Раскрытие скобок | c · (a + b) = c · a + c · b | Умножить множитель перед скобками на каждое слагаемое внутри |
| Вынесение общего множителя | a · c + b · c = (a + b) · c | Найти общий множитель и записать его перед скобками |
| Упрощение вычислений | 48 · 25 + 52 · 25 = (48 + 52) · 25 | Заменить выражение равным ему, выбрав удобный порядок действий |
Сначала определи, что нужно сделать: раскрыть скобки или, наоборот, найти общий множитель. Затем проверь, охватывает ли множитель все слагаемые нужной суммы или разности. Для проверки можно применить закон в обратную сторону и сравнить записи.
Задача 1. Вычислите 7 · (20 + 3). В скобках стоят два слагаемых, а число 7 умножает всю сумму. Чтобы не складывать числа в скобках заранее, применим распределительный закон.
Ответ: 161. Мы умножили 7 на оба слагаемых, поэтому получили значение исходного выражения. Такой способ особенно удобен, если один из множителей легко вычислить отдельно.
Задача 2. Раскройте скобки и упростите выражение 5 · (x − 4) + 3x. Сначала применим закон к разности в скобках, не забывая знак минус. Затем найдём подобные слагаемые: так называют слагаемые с одинаковой буквенной частью.
Ответ: 8x − 20. Число −20 остаётся отдельным слагаемым, потому что оно не содержит x. Если бы при раскрытии скобок потеряли минус перед 5 · 4, итоговое выражение изменилось бы.
Задача 3. Вычислите 48 · 25 + 52 · 25 удобным способом. Оба слагаемых являются произведениями, и в каждом есть множитель 25. Вместо двух отдельных умножений вынесем его за скобки, а затем сложим числа внутри.
Ответ: 2500. Здесь удобнее сначала сложить 48 и 52, потому что их сумма равна круглому числу 100. Раскрытие полученных скобок вернуло бы исходные произведения, поэтому преобразование сохраняет значение выражения.
Ошибка: умножить внешний множитель только на первое слагаемое, например записать 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 2. Так делают, когда воспринимают скобки как одно целое, но множитель относится к каждому слагаемому. Проверь себя: после раскрытия скобок возле каждого слагаемого внутри должен появиться множитель 3.
Ошибка: изменить знак при раскрытии скобок с разностью или потерять минус перед вторым произведением. Такое случается, если правило для разности запомнили как простое удаление скобок. Сверь результат с формулой (a − b) · c = a · c − b · c и убедись, что между произведениями остался знак вычитания.
Ошибка: при вынесении общего множителя оставить внутри скобок исходные произведения целиком. Например, вместо 6 · (a + b) записать 6 · (6a + 6b), хотя множитель 6 уже вынесен. В скобках должны стоять только оставшиеся части слагаемых; проверь это, раскрыв скобки и сравнив с началом.
Ошибка: применить закон, когда множитель не умножает всю сумму или разность. Причина — не заметить границы скобок и распространить действие умножения на лишние слагаемые. Перед преобразованием обведи скобки взглядом и выясни, какие именно слагаемые в них входят; закон применяй только к ним.
Для работы с распределительным законом нужно уметь умножать и складывать натуральные, целые и дробные числа. Также пригодятся знания о порядке действий и о том, как скобки показывают, какие действия относятся друг к другу. Без этих навыков легко ошибиться в вычислениях или неверно определить границы суммы.
Закон продолжает работать при вычислениях с рациональными числами — числами, которые можно представить в виде дроби. Он также нужен для раскрытия скобок и упрощения буквенных выражений, например для объединения подобных слагаемых. Позже эти же преобразования помогут решать более сложные задачи и уравнения.
Почему внешний множитель нужно умножать на каждое слагаемое?
Потому что множитель относится ко всей сумме или разности в скобках. Например, 3 · (4 + 2) означает три раза взять и 4, и 2: 3 · 4 + 3 · 2.
Как раскрыть скобки, если внутри стоит разность?
Умножь внешний множитель на уменьшаемое и на вычитаемое, а между полученными произведениями оставь минус. Например, 5 · (8 − 3) = 5 · 8 − 5 · 3.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки?
Сверь, что внешний множитель умножен на каждое слагаемое, а знак между результатами сохранён. Для числового выражения можно вычислить исходную запись и результат отдельно: ответы должны совпасть.
Как понять, какой множитель можно вынести за скобки?
Найди число или букву, которая входит множителем в каждое слагаемое. Запиши её перед скобками, а внутри оставь оставшиеся множители.
Когда распределительный закон помогает считать быстрее?
Когда в нескольких слагаемых есть общий множитель или число удобно представить суммой либо разностью. Например, 48 · 25 + 52 · 25 можно заменить на (48 + 52) · 25.
2.9. Распределительный закон
