2.10. Раскрытие скобок и заключение в скобки

Определения и обозначения

Раскрытие скобок — это преобразование суммы или разности со скобками в равное выражение без скобок. Если перед скобками стоит плюс, знаки всех слагаемых внутри сохраняются: +(a − b) = a − b. Если стоит минус, знак каждого слагаемого меняется на противоположный: −(a − b) = −a + b. Это правило помогает переписывать выражения так, чтобы их было удобнее вычислять.

Заключение в скобки — запись нескольких слагаемых в виде выражения со скобками, при которой значение всего выражения не меняется. При плюсе перед скобками знаки внутри оставляют прежними, а при минусе — меняют на противоположные. Например, a − b можно записать как −(−a + b). Такое преобразование удобно, когда нужно объединить часть выражения или подготовить его к дальнейшему упрощению.

Противоположные слагаемые — это слагаемые, сумма которых равна нулю: например, a и −a. Если вынести перед скобками общий минус, знак каждого слагаемого внутри меняется на противоположный. Поэтому a − b можно представить как −(−a + b): слагаемые внутри при раскрытии снова изменят знаки и дадут исходное выражение. Это помогает не потерять знак при обратной записи.

Как это устроено

Если перед скобками стоит плюс, каждое слагаемое сохраняет свой знак. Ведь прибавить сумму — то же самое, что прибавить каждое слагаемое этой суммы: 8 + (−3 + 5) = 8 − 3 + 5. Скобки здесь лишь показывают, какие числа записаны вместе, и не меняют их значения. Поэтому переставлять знаки внутри при раскрытии нельзя.

Минус перед скобками означает вычитание всего выражения в скобках, а не только первого числа. Вычесть сумму можно, если сложить числа, противоположные каждому слагаемому: −(a + b) = −a − b. Если внутри записана разность, изменятся знаки обоих слагаемых: −(a − b) = −a + b. Например, −(4 − 9) = −4 + 9: отрицательное слагаемое −9 становится положительным.

Заключая выражение в скобки с плюсом перед ними, знаки слагаемых оставляют прежними. Это верно потому, что прибавление скобок с теми же слагаемыми ничего не меняет: a − b = +(a − b). Знак плюс можно не писать, но он помогает увидеть, что знаки внутри сохраняются. Так удобно выделить часть выражения, не меняя его значения.

Если перед скобками нужен минус, знаки слагаемых внутри надо изменить на противоположные. Например, a − b = −(−a + b): при раскрытии внешнего минуса слагаемые −a и +b превратятся в a и −b. Проверка показывает, почему это правило работает: заключение в скобки и раскрытие скобок — обратные преобразования. Если при обратном действии исходная запись не получается, значит, где-то потерян или изменён знак.

Правила позволяют упростить выражение в несколько действий. Сначала раскрывают скобки, внимательно меняя знаки после минуса, а затем приводят подобные слагаемые — складывают слагаемые с одинаковой буквенной частью или числа. Например, 3x − (x − 2) = 3x − x + 2 = 2x + 2. Чтобы проверить работу, можно заключить часть результата в скобки и раскрыть их обратно или подставить число вместо буквы в исходное и полученное выражения.

Знаки при раскрытии скобок и заключении в скобки

Сначала найди знак непосредственно перед скобками, затем выбери подходящую строку таблицы. При заключении в скобки проверь, что после обратного раскрытия снова получается исходная запись. Особенно внимательно следи за минусом: он действует на каждое слагаемое внутри.

Разбор задач

Раскройте скобки: 8 + (−3 + 5).

Перед скобками стоит плюс, поэтому слагаемые внутри сохраняют свои знаки. Скобки можно убрать, не меняя ни −3, ни +5. После этого вычислим выражение слева направо.

1. Записываем выражение без скобок: 8 − 3 + 5.
2. Вычитаем 3 из 8: 8 − 3 = 5.
3. Прибавляем 5: 5 + 5 = 10.

Ответ: 10.

Раскройте скобки и упростите: 12 − (4 − 9) + (−2 + 6).

В выражении есть скобки и с минусом, и с плюсом перед ними. Во второй паре скобок знаки сохраняются, а в первой меняются оба знака. После раскрытия удобно вычислить сумму положительных и отрицательных чисел.

1. Раскрываем скобки: 12 − 4 + 9 − 2 + 6.
2. Группируем числа для удобного счёта: (12 + 9 + 6) − (4 + 2).
3. Складываем: 27 − 6 = 21.

Ответ: 21.

Заключите в скобки выражение 7 − 3 + 5 так, чтобы перед ними стоял минус и значение выражения не изменилось.

Чтобы поставить перед скобками минус, изменим знак каждого слагаемого внутри на противоположный. Исходная запись состоит из слагаемых +7, −3 и +5, поэтому внутри должны оказаться −7, +3 и −5. Проверим полученную запись раскрытием скобок.

1. Меняем знаки всех слагаемых и заключаем их в скобки: 7 − 3 + 5 = −(−7 + 3 − 5).
2. Раскрываем минус: −(−7 + 3 − 5) = 7 − 3 + 5.
3. Получили исходное выражение, значит, значение сохранено.

Ответ: −(−7 + 3 − 5).

Типичные ошибки

При минусе перед скобками иногда меняют знак только первого слагаемого: например, пишут −(a − b) = −a − b. Ошибка возникает, если воспринимать минус как знак лишь перед ближайшим числом, хотя он относится ко всему выражению в скобках. Проверь каждый знак по очереди: правильное раскрытие даёт −a + b.

При плюсе перед скобками иногда меняют знаки слагаемых, путая этот случай с минусом. Но плюс означает, что выражение просто прибавляется, поэтому его слагаемые остаются прежними. Для проверки раскрой скобки и сравни каждый знак с исходным: в записи +(a − b) должно получиться a − b.

При заключении выражения в скобки с минусом можно оставить внутри исходные знаки. Тогда после раскрытия получится уже другое выражение, потому что минус изменит знаки всех слагаемых. Проверяй запись обратным действием: раскрой скобки и убедись, что восстановилась исходная последовательность знаков.

Ещё одна ошибка — терять знак самого слагаемого, например считать −a отдельным минусом, не относящимся к слагаемому. В записи a − (−b + c) внутри скобок первое слагаемое — −b, и внешний минус меняет его знак на +b. Подчёркивай или проговаривай слагаемые вместе со знаками, тогда отрицательное число не потеряется.

Связь с другими темами

Для работы со скобками нужно уметь складывать и вычитать положительные и отрицательные числа. Также важно различать знак числа и знак действия: в записи 5 − (−2) первое «−» означает вычитание, а второе относится к числу −2. Если разделять эти знаки, легче правильно раскрывать скобки и считать результат.

Эти преобразования пригодятся при упрощении выражений и приведении подобных слагаемых, например при сборе всех чисел с x в одну группу. Они также помогают при решении уравнений: выражение можно раскрыть, чтобы упростить обе части и найти неизвестное. В каждом случае сохраняй равенство и проверяй знаки.

Что запомнить

• Перед скобками стоит плюс — знаки внутри сохраняются.
• Перед скобками стоит минус — знаки внутри меняются на противоположные.
• При заключении в скобки нужно сохранить значение выражения.
• Минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого, а не только первого.
• Раскрытие скобок и заключение в скобки — обратные преобразования.
• После раскрытия скобок можно привести подобные слагаемые.