"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Сумму из нескольких слагаемых можно умножить на число, умножив на него каждое слагаемое, а затем сложив результаты. Это правило позволяет раскрывать скобки и выбирать удобный способ вычислений. Если перемножаются две суммы, каждое слагаемое первой умножают на каждое слагаемое второй. Главное — не пропускать слагаемые и сохранять их знаки. Группировка и проверка другим способом помогают избежать ошибок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма нескольких слагаемых — выражение, в котором сложены три или более числа, например 4 + 7 + 2. Слагаемые — это числа, соединённые знаками сложения; в примере слагаемые — 4, 7 и 2. Скобки могут показывать, что несколько слагаемых рассматриваются вместе. Это нужно, чтобы ясно видеть, какую сумму предстоит умножить или преобразовать.
Умножение суммы на число — действие, которое можно выполнить, умножив число на каждое слагаемое, а затем сложив результаты. Например, 3 · (2 + 5) = 3 · 2 + 3 · 5. Такой способ помогает раскрыть скобки и иногда делает вычисление удобнее. Он работает и тогда, когда в скобках больше двух слагаемых.
Распределительное свойство умножения относительно сложения — правило, по которому умножение числа на сумму заменяют суммой произведений этого числа на каждое слагаемое. В записи a · (b + c) = a · b + a · c число a умножается и на b, и на c. Это свойство объясняет, почему можно раскрывать скобки, не меняя значения выражения. Оно также помогает упрощать вычисления и буквенные выражения.
Умножение суммы на сумму — способ найти произведение, при котором каждое слагаемое первой суммы умножают на каждое слагаемое второй, а результаты складывают. Например, (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d. Это правило получается из распределительного свойства, применённого несколько раз. Оно нужно, когда в скобках стоят две суммы.
Сумму можно сначала вычислить и считать одним числом: например, 7 + 3 = 10, поэтому 4 · (7 + 3) можно заменить на 4 · 10. Но иногда удобнее не выполнять сложение в скобках, а умножить отдельно каждое слагаемое. Например, если слагаемые дают простые произведения или их удобно сгруппировать, раскрытие скобок сокращает вычисления. Оба пути дают один результат, потому что сложение и умножение связаны распределительным свойством.
Правило для двух слагаемых можно применять к сумме из трёх и более слагаемых. Сначала представим 4 · (2 + 5 + 3) как 4 · ((2 + 5) + 3). Умножаем на сумму в скобках: 4 · (2 + 5) + 4 · 3, а затем раскрываем первые скобки: 4 · 2 + 4 · 5 + 4 · 3. Так становится понятно, почему умножается каждое слагаемое: пропуск любого из них изменил бы общую сумму.
Чтобы раскрыть произведение двух сумм, применяем распределительное свойство сначала к одной сумме, а потом к другой. Например, в (2 + 3) · (4 + 5) слагаемое 2 умножается на 4 и на 5, а слагаемое 3 — тоже на 4 и на 5. Получаются четыре произведения: 2 · 4, 2 · 5, 3 · 4 и 3 · 5. Если в первой сумме три слагаемых, а во второй два, получится шесть произведений: каждое слагаемое первой суммы встретится с каждым слагаемым второй.
Не всегда выгодно сразу раскрывать скобки: иногда можно сначала изменить порядок слагаемых и объединить удобные пары. Переместительное свойство сложения позволяет переставлять слагаемые, а сочетательное — по-разному ставить скобки при их объединении. Например, в 4 · (25 + 17 + 8) можно сначала сложить 25 и 17, затем прибавить 8, или раскрыть скобки. Выбор зависит от того, какой путь требует меньше вычислений и легче проверяется.
Преобразование можно проверить двумя способами. Один путь — вычислить исходное выражение, сначала найдя сумму в скобках; другой — раскрыть скобки и сложить произведения. Если ответы совпали, это подтверждает вычисление, хотя при сложных задачах полезно ещё раз проверить арифметику. Можно также проверить полученный результат обратным действием, например делением произведения на множитель, если это удобно.
| Действие | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Умножение суммы на число | Умножить число на каждое слагаемое суммы и сложить произведения. | 3 · (2 + 4 + 1) = 3 · 2 + 3 · 4 + 3 · 1 |
| Умножение числа на сумму | Число умножается на каждое слагаемое в скобках. | 5 · (6 + 2) = 5 · 6 + 5 · 2 |
| Умножение суммы на сумму | Каждое слагаемое первой суммы умножается на каждое слагаемое второй. | (1 + 3) · (2 + 4) = 1 · 2 + 1 · 4 + 3 · 2 + 3 · 4 |
| Удобная группировка слагаемых перед вычислением | Переставить и объединить слагаемые, чтобы упростить вычисления. | 4 · (25 + 17 + 8) = 4 · ((25 + 17) + 8) |
Сначала определите, что именно умножается: число на сумму или одна сумма на другую. Затем проверьте, что ни одно слагаемое не пропущено. Если вычисления можно упростить группировкой, выберите наиболее удобный порядок.
Задача 1. Вычислите 7 · (12 + 8 + 5). В скобках три слагаемых, значит, множитель 7 должен попасть в каждое из них. Раскрывать скобки удобно, когда произведения можно быстро найти. После этого сложим результаты и сверим ответ с вычислением суммы внутри скобок.
Ответ: 175. Проверка дала тот же результат, что и раскрытие скобок. Значит, все три слагаемых были учтены. При проверке важно не только сравнить числа, но и убедиться, что исходное выражение посчитано верно.
Задача 2. Вычислите 4 · (25 + 17 + 8), выбрав удобный способ. Здесь можно сначала сложить числа в скобках или сразу умножить каждое на 4. Посмотрим, какой способ короче: сумма 25 и 17 равна 42, а слагаемое 8 удобно прибавить к ней до умножения. Для надёжности сравним результат с раскрытием скобок.
Ответ: 200. В этом примере удобно сначала сложить слагаемые, потому что получается 50. Раскрытие скобок тоже верно, но требует отдельно вычислить три произведения. Можно выбирать любой способ, если он сохраняет значение выражения.
Задача 3. Вычислите (3 + 5 + 2) · (4 + 6). Здесь умножаются две суммы, поэтому необходимо получить произведение для каждой пары слагаемых. В первой сумме три числа, во второй — два, всего должно получиться шесть произведений. После раскрытия скобок проверим ответ, найдя значения обеих сумм.
Ответ: 100. При раскрытии получились все шесть пар, поэтому ни одно произведение не потерялось. Быстрая проверка суммами подтверждает результат. Если бы мы перемножили только соседние числа, часть пар осталась бы без учёта.
Первая ошибка — умножить число только на первое слагаемое в скобках. Так делают, когда забывают, что число умножается на всю сумму, а не только на её начало. Проверьте раскрытие: напротив каждого слагаемого должен появиться множитель. Например, 2 · (3 + 4 + 5) превращается в 2 · 3 + 2 · 4 + 2 · 5.
При умножении суммы на сумму иногда перемножают только слагаемые, стоящие рядом. Это кажется естественным при чтении выражения слева направо, но распределительное свойство требует учесть каждую пару. Проверяйте число произведений: при двух слагаемых в первой сумме и трёх во второй должно быть шесть. Можно выписать пары по очереди, чтобы ничего не пропустить.
Ещё одна ошибка — потерять знак слагаемого при раскрытии скобок. Такое случается, когда записывают только число, не перенося знак минус вместе с ним. Сначала считайте отрицательное слагаемое целиком: например, 3 · (8 + (−2)) = 3 · 8 + 3 · (−2). Проверить себя можно, отдельно вычислив исходную сумму и сравнив результат.
Наконец, ошибаются, если не учитывают скобки и порядок действий, складывая или умножая числа как попало. Желание посчитать быстрее не позволяет менять значение выражения: сначала нужно понять, какие слагаемые образуют сумму и что именно умножается. Перестановка или группировка допустима для слагаемых одной суммы, но не отменяет правило раскрытия скобок. Проверьте вычисление, посчитав выражение сначала со скобками, а затем выбранным способом.
Для этой темы нужны переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения. Первое позволяет менять порядок слагаемых, второе — группировать их; порядок действий помогает верно читать выражения со скобками. Эти знания дают возможность выбрать удобный способ вычисления, а не выполнять действия наугад. Распределительное свойство пригодится при раскрытии скобок и упрощении буквенных выражений. Оно также используется в вычислениях с рациональными числами, в том числе с отрицательными числами и дробями.
Можно ли умножить число только на одно слагаемое в скобках?
Нет, если в скобках стоит сумма, число умножают на каждое её слагаемое. Иначе часть суммы останется без умножения, и значение выражения изменится.
Как раскрыть скобки, если в сумме больше двух слагаемых?
Умножьте число на первое слагаемое, затем на второе и так далее до последнего. Полученные произведения сложите.
Сколько произведений получится при умножении двух сумм?
Каждое слагаемое первой суммы умножается на каждое слагаемое второй. Например, для суммы из трёх слагаемых и суммы из двух слагаемых получится 3 · 2 = 6 произведений.
Нужно ли сохранять знак минус у слагаемого?
Да, знак слагаемого сохраняется при раскрытии скобок. Например, в выражении 4 · (7 − 2) слагаемое −2 даёт произведение 4 · (−2).
Как выбрать удобную группировку слагаемых?
Ищите слагаемые, которые легко складываются или дают круглое число. Переставлять и объединять их можно благодаря переместительному и сочетательному свойствам сложения.
2.11. Действия с суммами нескольких слагаемых
