2.12. Представление целых чисел на координатной оси

Определения и обозначения

Координатная прямая — это прямая с началом отсчёта, выбранным положительным направлением и единичным отрезком. Начало отсчёта обозначают числом 0, а единичный отрезок задаёт расстояние, равное одной единице. Благодаря этим трём договорённостям можно определять положение точек и изображать числа.

Координата точки — число, которое показывает её положение на координатной прямой. Координату записывают рядом с обозначением точки, например A(3) означает, что точке A соответствует число 3. Каждой точке соответствует ровно одно число, и каждому числу — ровно одна точка, поэтому числам можно сопоставить точки, а точкам — числа.

Положительные целые числа больше нуля, а отрицательные целые числа меньше нуля. Знак «+» обычно не пишут: число 5 означает +5. Положительные числа находятся справа от нуля, отрицательные — слева, поэтому по знаку числа можно понять, в какую сторону от начала отсчёта искать его точку.

Противоположные числа имеют одинаковые модули, то есть одинаковые расстояния от нуля, но разные знаки. Например, числа 4 и −4 противоположны. Их точки расположены по разные стороны от нуля, поэтому такое название помогает описывать пары чисел, симметричные относительно начала отсчёта.

Как это устроено

Одной прямой недостаточно, чтобы определить, где находится число: нужно договориться, откуда начинать отсчёт и что считать шагом. Поэтому на прямой отмечают ноль и единичный отрезок, а затем выбирают положительное направление. Обычно его показывают стрелкой вправо, а шаги влево считают направлением, противоположным положительному. Благодаря общей договорённости разные люди одинаково читают координаты точек.

Положительные числа отмечают справа от нуля, потому что именно это направление принято считать положительным. Отрицательные числа меньше нуля, поэтому их откладывают в обратную сторону — влево. Знак числа указывает направление, а не то, насколько далеко нужно идти. Например, у чисел 3 и −3 одинаковое расстояние от нуля, но точки лежат по разные стороны.

Чтобы отметить целое число, сначала найди ноль и определи направление по знаку числа. Затем отложи от нуля столько единичных отрезков, сколько показывает модуль числа: для −4 нужно пройти четыре шага влево, а для 4 — четыре шага вправо. Модуль здесь означает расстояние от числа до нуля без учёта знака. Такой способ помогает не перепутать знак с количеством шагов.

Если прямая равномерно разделена на единичные отрезки, соседние целые отметки различаются на единицу: после 2 вправо идёт 3, а после −2 вправо идёт −1. Равенство шагов позволяет правильно находить промежуточные числа и сравнивать расстояния. При этом между соседними целыми точками есть и другие точки, например между 0 и 1 можно отметить ½. Значит, координаты точек на прямой не обязательно целые.

Сравнивать числа удобно по расположению их точек: правее расположено большее число, левее — меньшее. Это следует из выбранного положительного направления: при движении вправо координаты возрастают, а при движении влево уменьшаются. Например, точка 2 находится правее точки −1, поэтому 2 > −1. Правило работает и для двух отрицательных чисел.

Целые числа на координатной прямой

Пользуйся таблицей, чтобы по знаку определить сторону от нуля, а по положению — проверить, правильно ли отмечено число. Для противоположных чисел проверь два условия: знаки разные, расстояния до нуля равны. Ноль занимает особое место: он не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам.

Разбор задач

Задача 1. Отметить на координатной прямой числа −3, 0 и 2, если единичный отрезок равен 1 см. Сначала определим, где находится ноль: это начало отсчёта. Затем используем знак числа, чтобы выбрать направление, а модуль — чтобы узнать количество шагов. Длина одного шага составляет 1 см.

1. Отметь начало отсчёта и подпиши его числом 0. В этой точке уже расположено число 0, поэтому для него не нужно откладывать отрезки. Выбери положительное направление вправо.

2. Для числа −3 отсчитай от нуля три единичных отрезка влево. Так как каждый отрезок равен 1 см, точка −3 будет находиться на расстоянии 3 см слева от нуля. Подпиши её числом −3.

3. Для числа 2 отсчитай от нуля два единичных отрезка вправо. Полученная точка находится на расстоянии 2 см от начала отсчёта. Подпиши её числом 2.

Ответ: −3 отмечено на 3 см левее нуля, 0 — в начале отсчёта, 2 — на 2 см правее нуля.

Задача 2. Записать координаты точек A и B, расположенных на 4 и 2 единицы левее нуля соответственно, и сравнить их. Слово «левее» означает, что обе точки имеют отрицательные координаты. Расстояние от нуля задаёт модуль каждой координаты.

1. Точка A находится на четыре единицы левее нуля, поэтому её координата равна −4. Минус показывает, что точка расположена слева, а число 4 — расстояние в единичных отрезках.

2. Точка B находится на две единицы левее нуля, поэтому её координата равна −2. Она тоже расположена слева, но ближе к нулю, чем A.

3. Сравни точки по положению: B находится правее A. Значит, координата B больше координаты A, то есть −4 < −2.

Ответ: A(−4), B(−2); −4 < −2.

Задача 3. На координатной прямой отмечены точки C(−5) и D(3). Нужно найти расстояние между ними и координату числа, противоположного координате C. Точки находятся по разные стороны от нуля, поэтому расстояние между ними проходит через ноль.

1. От C(−5) до нуля — пять единичных отрезков. От нуля до D(3) — ещё три единичных отрезка. Складываем эти части: 5 + 3 = 8.

2. Координата точки C равна −5. Противоположное число имеет такой же модуль 5, но другой знак, поэтому это число 5.

Ответ: расстояние между C и D равно 8 единицам; число, противоположное −5, — 5.

Типичные ошибки

Если отрицательное число откладывают вправо, направление перепутано: вправо идут по положительному направлению, а отрицательные координаты лежат слева от нуля. Такую ошибку часто допускают, замечая только число шагов и забывая про знак. Проверь себя: у отрицательной координаты точка должна находиться левее начала отсчёта.

Можно ошибочно решить, что −5 больше −2, потому что 5 больше 2. Но на координатной прямой −5 находится левее −2, следовательно, −5 < −2. Для проверки не сравнивай только числа без знаков: найди их точки и посмотри, какая расположена правее.

Ещё одна ошибка — откладывать единичные отрезки не от нуля, а от другой отметки. Координата показывает положение относительно начала отсчёта, поэтому расстояние нужно отсчитывать именно от нуля. Перед построением найди ноль, а после проверь, что от него до точки отложено нужное количество шагов.

Противоположные числа иногда считают одинаковыми, поскольку расстояния от них до нуля равны. Однако их координаты имеют разные знаки, а точки лежат по разные стороны от нуля: например, −3 и 3 не совпадают. Проверь пару по расстоянию и направлению: модуль должен быть одинаковым, знак — разным.

Связь с другими темами

Для работы с координатной прямой пригодятся знания о натуральных и целых числах, числовом луче, единичном отрезке и порядке чисел. Они помогают понимать, что показывают знак, расстояние и направление. Представление чисел на прямой понадобится при их сравнении, изучении модуля и действий с отрицательными числами. Координатная прямая также помогает перейти к координатам точек на плоскости.

Что запомнить

• Ноль — начало отсчёта на координатной прямой.
• Положительное направление обычно выбирают вправо.
• Положительные числа располагаются справа от нуля, отрицательные — слева.
• Чтобы отметить число, от нуля откладывают его модуль в нужном направлении.
• Чем правее точка на координатной прямой, тем больше её координата.
• Противоположные числа равноудалены от нуля и имеют разные знаки.