З.1. Отрицательные дроби

Определения и обозначения

Отрицательная дробь — это дробь, значение которой меньше нуля, например −3/7. Минус можно поставить перед дробью или записать в её числителе: −3/7 = (−3)/7. Этот знак показывает, что число находится левее нуля на координатной прямой.

Противоположные дроби имеют одинаковые знаменатели и одинаковые модули, но разные знаки: например, 5/8 и −5/8. Они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, по разные стороны от него. Их сумма равна нулю: 5/8 + (−5/8) = 0.

Модуль дроби — это расстояние от соответствующего числа до нуля. Модуль не бывает отрицательным: например, |−3/7| = 3/7, а |3/7| = 3/7. Он нужен, чтобы узнать, насколько далеко число от нуля, не учитывая его знак.

Как это устроено

Отрицательная дробь связана с положительной так же, как отрицательное целое число с положительным: она противоположна ей. Например, −2/5 — число, противоположное 2/5. На прямой оба числа находятся на расстоянии 2/5 от нуля, но по разные стороны. Поэтому знак минус меняет расположение числа, а не величину этого расстояния.

Записи −a/b и (−a)/b обозначают одно число, потому что минус можно вынести за дробную черту или внести в числитель. Его можно поставить и в знаменатель: a/(−b) имеет то же значение, что −a/b, если b не равен нулю. Дробная черта означает деление, а знак минус показывает, что результат деления взят с противоположным знаком. Перенос знака не меняет значение дроби.

Чтобы изобразить отрицательную дробь на координатной прямой, сначала нужно отметить ноль и единицу. Единичный отрезок делят на равные части по знаменателю дроби, а затем от нуля отсчитывают влево столько частей, сколько показывает числитель. Например, для −3/4 отрезок от 0 до 1 делят на четыре части и проходят три части влево. Движение направлено влево, потому что число отрицательное.

Положительное число находится правее нуля, а отрицательное — левее, поэтому любая отрицательная дробь меньше любой положительной. Например, −5/8 < 1/4, и для этого не нужно приводить дроби к общему знаменателю. Важно сначала определить знаки чисел: их расположение относительно нуля сразу даёт ответ. Если одно число отрицательное, а другое положительное, отрицательное всегда меньше.

Чтобы сравнить две отрицательные дроби, сравнивают их модули, но результат сравнения меняется на противоположный. Например, 1/4 < 3/4, однако −1/4 > −3/4. На прямой число с большим модулем уходит дальше влево, поэтому оно меньше. Именно поэтому из двух отрицательных дробей больше та, которая ближе к нулю.

Запись, расположение и сравнение отрицательных дробей

Сначала найди в таблице нужную ситуацию: например, сравнение чисел или запись дроби. Затем примени правило из среднего столбца и проверь результат на примере. Для двух отрицательных дробей особенно важно не забыть, что сравнение модулей меняет порядок самих чисел.

Разбор задач

Задача 1. Запишите дробь, противоположную 3/7, и отметьте обе дроби на координатной прямой.

1. У противоположных чисел одинаковый модуль, но разные знаки.
2. У дроби 3/7 ставим минус: получаем −3/7.
3. Чтобы отметить дроби, делим единичный отрезок на семь равных частей. От нуля отсчитываем три части вправо для 3/7 и три части влево для −3/7.

Ответ: противоположная дробь — −3/7; числа отмечаются на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны.

Задача 2. Сравните −5/8 и 1/4.

1. Определяем знаки: −5/8 — отрицательная дробь, а 1/4 — положительная.
2. Любое отрицательное число на координатной прямой расположено левее любого положительного.
3. Значит, отрицательная дробь меньше; приводить дроби к общему знаменателю не требуется.

Ответ: −5/8 < 1/4.

Задача 3. Сравните −7/12 и −2/3.

1. Обе дроби отрицательные, поэтому сравним их модули: 7/12 и 2/3.
2. Приводим модули к общему знаменателю: 2/3 = 8/12. Получаем 7/12 < 8/12.
3. У исходных чисел знаки минус, поэтому порядок меняется на обратный: дробь с меньшим модулем больше.

Ответ: −7/12 > −2/3. На прямой −7/12 находится правее −2/3, потому что ближе к нулю.

Типичные ошибки

Иногда дробь считают положительной, потому что минус стоит только перед дробной чертой, а не в числителе. Но знак перед дробью относится к ней целиком: −3/7 означает отрицательное число. Чтобы проверить себя, сравни запись с формой (−3)/7 или посмотри, должна ли точка находиться слева от нуля.

При сравнении отрицательных дробей могут применить правило для положительных и решить, что большему модулю соответствует большее число. Это неверно: числа с большим модулем уходят дальше влево. Сравни модули, а затем поменяй порядок: например, 1/2 > 1/3, но −1/2 < −1/3.

Перенося минус, можно случайно изменить значение дроби или поставить знаки сразу в нескольких местах. Один минус можно записать перед дробью, в числителе либо в знаменателе: эти варианты равны, если знаменатель не равен нулю. Проверь, что при переносе знака значение осталось отрицательным и сама дробь не изменилась.

Дробь с большим знаменателем не всегда меньше другой дроби. Размер дроби зависит и от числителя, и от знаменателя, а знак тоже влияет на сравнение. Для проверки приведи дроби к общему знаменателю или сравни их другим подходящим способом; не делай вывод только по знаменателям.

Связь с другими темами

Для работы с отрицательными дробями нужно знать обыкновенные дроби, понимать, где находятся числитель и знаменатель, и уметь сравнивать положительные дроби. Координатная прямая помогает увидеть, почему отрицательные числа лежат левее нуля и как они соотносятся друг с другом. Отрицательные дроби расширяют понятие рационального числа и позволяют сравнивать числа с разными знаками. Эти знания понадобятся при сложении, вычитании, умножении и делении рациональных чисел.

Что запомнить

• Отрицательная дробь меньше нуля.
• Знак минус можно записать перед дробью, в числителе или знаменателе.
• Противоположные дроби имеют одинаковый модуль и разные знаки.
• На координатной прямой отрицательные дроби расположены левее нуля.
• Любая отрицательная дробь меньше любой положительной.
• Из двух отрицательных дробей больше та, у которой меньше модуль.