"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Рациональные числа — это числа, которые можно записать дробью с целым числителем и ненулевым знаменателем. К ним относятся обыкновенные дроби, целые числа и конечные десятичные дроби, а также бесконечные периодические дроби. Одно число может иметь несколько равных записей, например ½ и 0,5. Понимание рациональных чисел помогает сравнивать числа, выполнять с ними действия и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число. Это определение помогает узнать, какие числа относятся к рациональным, даже если они записаны не дробью, а десятичным числом. Например, −3 можно записать как −3/1. Поэтому целые числа тоже входят в этот круг чисел.
Множество рациональных чисел — совокупность всех рациональных чисел; его обозначают буквой Q. Это обозначение удобно, когда нужно говорить сразу обо всех таких числах или указывать, к какому множеству относится число. Если число можно записать подходящей дробью, оно принадлежит Q. Например, 2/5 ∈ Q.
Несократимая дробь — дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме единицы. Например, 3/8 — несократимая дробь, а 6/16 можно сократить до 3/8. Такая запись показывает число без лишних множителей и упрощает вычисления. Она также помогает сравнивать дроби и переводить десятичные записи в обыкновенные.
Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная дробь, в которой повторяются одна или несколько цифр. Повторяющаяся группа называется периодом: например, в записи 0,(3) период равен цифре 3. Эта запись означает 0,333… и представляет число 1/3. Периодические дроби нужны, чтобы записывать рациональные числа, у которых десятичные цифры не заканчиваются.
Дробь с целым числителем и ненулевым знаменателем задаёт рациональное число, потому что её можно понимать как деление числителя на знаменатель. Например, 3/4 — это результат деления 3 на 4, а −7/4 — результат деления −7 на 4. Результат может быть положительным или отрицательным, но он всё равно выражен отношением целых чисел. Именно поэтому такие дроби подходят под определение рационального числа.
Знаменатель не может быть нулём, потому что дробная черта означает деление, а на ноль делить нельзя. Например, 5/0 не обозначает число: невозможно подобрать результат, который при умножении на ноль даст 5. При этом числитель может быть равен нулю, если знаменатель не равен нулю: 0/4 = 0. Поэтому в определении отдельно следят за тем, чтобы знаменатель был ненулевым.
Одно рациональное число можно записать разными равными дробями. Если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится: например, 1/2 = 2/4 = 3/6. Это похоже на то, как одно и то же расстояние можно выразить в разных единицах: запись меняется, а величина остаётся. Благодаря этому можно сокращать дроби и приводить их к общему знаменателю.
Целые числа входят в множество рациональных, потому что любое целое число можно записать со знаменателем 1: 8 = 8/1, а −6 = −6/1. Конечные десятичные дроби тоже можно превратить в обыкновенные: например, 0,125 = 125/1000 = 1/8. Знаменатель сначала выбирают по числу знаков после запятой: 10, 100, 1000 и так далее. Затем дробь, если возможно, сокращают.
У рационального числа десятичная запись бывает конечной или бесконечной периодической. При делении в столбик возможны только конечные остатки, поэтому остаток либо станет нулём и запись закончится, либо начнёт повторяться. Когда остаток повторяется, снова появляются те же цифры, образуя период. Так, 1/4 = 0,25 заканчивается, а 1/3 = 0,333… продолжается с повторением цифры 3.
В таблице собраны распространённые виды рациональных чисел и примеры их записи. В столбце с условием указано, чем отличается каждый вид. Сравнивая примеры, можно увидеть, что разные формы записи могут обозначать одно и то же рациональное число.
| Вид или запись | Основное условие | Пример |
|---|---|---|
| Положительное рациональное число | Больше нуля | 3/5 |
| Отрицательное рациональное число | Меньше нуля | −7/4 |
| Целое число как рациональное | Знаменатель можно считать равным 1 | −6 = −6/1 |
| Конечная десятичная дробь | Имеет конечное число знаков после запятой | 0,125 = 1/8 |
| Бесконечная периодическая дробь | После запятой повторяется период цифр | 0,(3) = 1/3 |
Пользуйся таблицей, чтобы связать вид числа с его условием и примером. Если число записано десятичной дробью, проверь, заканчиваются ли цифры или повторяются по кругу. Для проверки принадлежности к рациональным можно попробовать представить число обыкновенной дробью.
Определить, какие из чисел являются рациональными: −5, 3/7, 0,25, √2. Для каждого числа проверим, можно ли представить его дробью с целым числителем и ненулевым знаменателем. Это позволяет не путать форму записи с самим числом. Число √2 понадобится отдельно отличить от дробей из целых чисел.
Ответ: рациональные числа — −5, 3/7 и 0,25; число √2 нерациональное.
Представить числа 0,375 и −2,4 в виде несократимых обыкновенных дробей. Сначала запишем каждое десятичное число дробью со знаменателем 10, 100 или 1000 — в зависимости от числа знаков после запятой. Затем найдём общий делитель числителя и знаменателя и сократим дробь. Знак минус при этом сохраняется.
Ответ: 0,375 = 3/8; −2,4 = −12/5.
Сравнить числа −5/6 и −0,8, приведя их к общей форме записи. Удобно перевести дробь −5/6 в десятичную запись и сопоставить получившиеся числа. Но при сравнении нужно помнить, что на координатной прямой меньше то число, которое расположено левее. У отрицательных чисел большая по модулю величина соответствует меньшему числу.
Ответ: −5/6 < −0,8.
Ошибка: считать рациональными только обыкновенные дроби и не относить к ним целые и конечные десятичные числа. Так можно подумать, потому что их запись не всегда похожа на дробь. Проверь себя: запиши целое число со знаменателем 1, а конечную десятичную дробь — со знаменателем 10, 100 или 1000. Например, 0,5 = 5/10.
Ошибка: допускать нулевой знаменатель. Иногда кажется, что в дроби числитель и знаменатель могут быть любыми числами, но знаменатель означает делитель. Деление на ноль не определено, поэтому записи вроде 3/0 не задают число. При проверке дроби сначала убедись, что знаменатель не равен нулю.
Ошибка: принимать равные дроби за разные числа, если у них не совпадают числители или знаменатели. Запись и значение — не одно и то же: 1/2 и 2/4 выглядят по-разному, но после сокращения становятся одинаковыми. Проверь, можно ли получить одну дробь из другой умножением или делением числителя и знаменателя на одно число. Так обнаруживаются равные дроби.
Ошибка: сравнивать отрицательные дроби только по числителям и знаменателям, не учитывая знак. При отрицательных числах привычное сравнение положительных дробей может привести к обратному результату: −5/6 меньше −1/2, хотя 5/6 больше 1/2. Отметь числа на координатной прямой или переведи их в десятичную форму. Левое число всегда меньше правого.
Для изучения рациональных чисел нужны знания о натуральных и целых числах, обыкновенных дробях и сокращении дробей. Координатная прямая помогает увидеть, где находятся положительные и отрицательные числа, и сравнить их. Новая тема, в свою очередь, нужна для сравнения чисел и выполнения действий с ними. Позже рациональные числа пригодятся при изучении уравнений, координат, процентов, отношений и действительных чисел.
Почему целое число считается рациональным?
Любое целое число можно записать дробью со знаменателем 1: например, −6 = −6/1. Значит, оно подходит под определение рационального числа.
Можно ли записать любое рациональное число конечной десятичной дробью?
Нет. Например, 1/3 в десятичной записи равна 0,333… — цифра 3 повторяется бесконечно. Рациональная десятичная запись бывает конечной или бесконечной периодической.
Чем рациональное число отличается от обыкновенной дроби?
Обыкновенная дробь — это способ записи числа, а рациональное число — само число, которое можно записать такой дробью. Одно рациональное число можно представить разными равными дробями.
Почему дроби с разными числителями и знаменателями могут быть равными?
Если умножить или разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же ненулевое число, её значение не изменится. Например, 1/2 = 2/4: обе дроби обозначают одно и то же число.
Как быстро определить, является ли данное число рациональным?
Проверь, можно ли представить число в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Целые числа, обыкновенные дроби и конечные десятичные дроби рациональны; √2 рациональным числом не является.
З.2. Рациональные числа
