3.3. Сравнение рациональных чисел

Определения и обозначения

Рациональное число — это число, которое можно записать дробью m/n, где m — целое число, а n — натуральное. К рациональным относятся целые числа, обыкновенные и конечные десятичные дроби; например, 4 = 4/1, а 0,25 = 1/4. Такая запись показывает, что разные на вид числа иногда обозначают одно и то же значение. Понятие нужно, чтобы рассматривать целые числа и дроби как части одного множества и применять к ним общие правила.

Сравнение рациональных чисел — это установление, какое из двух чисел больше, какое меньше или равны ли они. Результат можно записать, например, так: −2 < 1 или 3/4 = 0,75. Сравнивать числа нужно, чтобы располагать их по порядку и выбирать большее или меньшее значение. Это умение пригодится при работе с координатами, выражениями и неравенствами.

Числовая прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и направление. Числа изображают точками: ноль отмечают в начале, положительные числа — справа от него, отрицательные — слева. Положение точки позволяет увидеть порядок чисел без вычислений. Поэтому числовая прямая служит наглядной опорой для сравнения.

Неравенство — запись, показывающая, что одно число больше или меньше другого. Знак «>» читают «больше», «<» — «меньше», «≥» — «больше или равно», «≤» — «меньше или равно». Например, 2 < 5, а 4 ≤ 4, потому что второй знак допускает равенство. Неравенства помогают коротко записывать результат сравнения чисел.

Как это устроено

На числовой прямой числа увеличиваются слева направо. Поэтому точка, расположенная правее, соответствует большему числу: например, −1 находится правее −2, значит, −1 > −2. Это правило связано с направлением отсчёта: при движении вправо координата растёт, а при движении влево уменьшается. Если сомневаешься в знаке, расположение точек на прямой помогает проверить ответ.

Если числа имеют разные знаки, положительное всегда больше отрицательного. Ноль тоже стоит между ними: справа от него находятся положительные числа, слева — отрицательные. Поэтому 3 > −8 и 0 > −8, даже если модуль отрицательного числа большой. Такое сравнение можно сделать по расположению чисел, не приводя дроби к общему знаменателю.

Для двух отрицательных чисел действует правило, обратное сравнению их модулей. Модуль показывает расстояние от числа до нуля, поэтому чем дальше отрицательное число от нуля, тем левее оно расположено и тем оно меньше. Например, −7 меньше −2, хотя 7 больше 2. Значит, из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Чтобы сравнить положительные обыкновенные дроби, можно привести их к общему знаменателю. Тогда целые числители считают одинаковое число равных частей, и большей будет дробь с большим числителем: например, 2/3 = 8/12, а 3/4 = 9/12, значит, 2/3 < 3/4. Если дроби имеют одинаковые знаменатели, сравнения числителей достаточно. При разных знаменателях сравнение только числителей может привести к ошибке, потому что части разного размера.

Десятичные дроби удобно сравнивать, записав одинаковое количество цифр после запятой: например, 1,5 = 1,50, а 1,47 < 1,50. Сначала сравнивают целые части, затем десятые, сотые и следующие разряды, пока не найдётся различие. Обыкновенную дробь при необходимости переводят в десятичную или, наоборот, приводят десятичную к обыкновенной. После сравнения числа можно записать на прямой в том же порядке: меньшие будут левее больших.

Способы сравнения рациональных чисел

В таблице собраны основные случаи. Сначала определи знаки чисел и выбери подходящую строку, а затем примени правило к примеру. Если числа записаны в разных формах, сначала преобразуй их к сопоставимому виду.

Разбор задач

Задача. Сравнить числа −3/4 и 2/5. Здесь дроби имеют разные знаки, поэтому вычислять общий знаменатель не требуется. Достаточно определить, какая дробь отрицательная, а какая положительная.

1. Число −3/4 отрицательное, потому что перед дробью стоит знак минус. Число 2/5 положительное, так как перед ним знака минус нет. Число со знаком плюс больше числа со знаком минус.
2. Значит, дробь 2/5 больше дроби −3/4. Общий знаменатель понадобился бы при сравнении дробей одного знака, но здесь он не изменил бы вывод. Запишем ответ знаком неравенства.

Ответ: −3/4 < 2/5.

Задача. Сравнить числа −5/6 и −3/4. Оба числа отрицательные, поэтому сначала сравним их модули. Чтобы удобно сопоставить дроби 5/6 и 3/4, приведём их к общему знаменателю.

1. Общий знаменатель для 6 и 4 — 12. Получаем 5/6 = 10/12 и 3/4 = 9/12, значит, 5/6 > 3/4. Это сравнение относится к модулям исходных отрицательных чисел.
2. У отрицательных чисел больший модуль соответствует меньшему числу. Поэтому −5/6 меньше −3/4, а знак между исходными дробями будет противоположен знаку между их модулями. Проверь результат на прямой: −5/6 находится левее −3/4.

Ответ: −5/6 < −3/4.

Задача. Расположить в порядке возрастания числа −1,2; 3/5; −7/10; 0; 1,05. Возрастание означает порядок от меньшего числа к большему. Сначала разделим числа по знакам, чтобы не сравнивать сразу все записи.

1. Отрицательные числа — −1,2 и −7/10, отдельно стоит ноль, положительные числа — 3/5 и 1,05. Среди отрицательных сравним модули: 1,2 больше 0,7, поэтому −1,2 меньше −7/10. Оба отрицательных числа меньше нуля.
2. Среди положительных чисел запишем 3/5 десятичной дробью: 3/5 = 0,6. Тогда 0,6 < 1,05, потому что целая часть первого числа меньше. Ноль меньше обоих положительных чисел, так что соединяем группы в правильном порядке.

Ответ: −1,2 < −7/10 < 0 < 3/5 < 1,05.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что −8 больше −3, потому что 8 больше 3. Так рассуждают, если сравнивают модули и забывают, что отрицательные числа находятся слева от нуля. Проверь ответ на числовой прямой: −8 левее −3, следовательно, −8 < −3. Для отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число.

Ошибка: сравнивать дроби только по числителям или только по знаменателям. Это неверно при разных знаменателях, поскольку дробные части могут быть разного размера. Приведи дроби к общему знаменателю или к десятичной записи и сравни полученные числа. Проверка на примере 1/2 и 2/3 показывает, что одного сравнения числителей недостаточно.

Ошибка: при сравнении отрицательных дробей оставить знак таким же, как при сравнении модулей. Например, из 5/6 > 3/4 нельзя заключить, что −5/6 > −3/4: знак результата будет обратным. Причина в том, что отрицательные числа с большим модулем расположены левее. Сверь вывод с правилом о модулях или отметь числа на прямой.

Ошибка: забыть, что ноль больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного. Тогда можно неверно расположить ноль рядом с числами −2 или 2. Представь числовую прямую: отрицательные числа стоят слева от нуля, положительные — справа. Быстрая проверка: −2 < 0 < 2.

Связь с другими темами

Для сравнения нужны знания о положительных и отрицательных числах, координатах точек на числовой прямой, модуле числа и правилах сравнения дробей. Эти темы объясняют, где расположены числа и как сопоставлять их величины. Упорядочивание рациональных чисел помогает решать неравенства, сравнивать числовые выражения и работать с координатами. Сравнение чисел и их модулей также полезно при действиях с рациональными числами: оно помогает учитывать знак результата.

Что запомнить

• На числовой прямой больше то число, которое расположено правее.
• Любое положительное число больше нуля, а ноль больше любого отрицательного числа.
• Любое положительное число больше любого отрицательного числа.
• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль.
• Для сравнения дробей их приводят к общему знаменателю или к десятичной записи.
• Знак неравенства направлен в сторону меньшего числа острым концом.
• Равные числа соединяют знаком «=», а неравенства записывают с помощью знаков «<» и «>».