3.4. Сложение и вычитание дробей

Определения и обозначения

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями — это действие, при котором складывают числители, а знаменатель оставляют прежним: a/n + b/n = (a + b)/n. Так складывают количества одинаковых долей. Правило нужно, чтобы быстро находить сумму частей одного целого.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняют так: из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель не меняют: a/n − b/n = (a − b)/n. Размер доли остаётся тем же, меняется только её количество. Поэтому порядок числителей менять нельзя.

Общий знаменатель — число, к которому приводят знаменатели нескольких дробей перед сложением или вычитанием. Оно должно делиться на каждый исходный знаменатель. Общий знаменатель нужен, чтобы выразить все части целого в одинаковых долях.

Дополнительный множитель — число, на которое умножают числитель и знаменатель дроби при приведении к общему знаменателю. Его находят делением общего знаменателя на прежний знаменатель. Благодаря умножению на одно и то же число значение дроби сохраняется.

Как это устроено

Представим, что целое яблоко разделили на 7 равных частей. Дроби 2/7 и 3/7 обозначают две и три одинаковые доли, поэтому вместе они составляют 5/7. Складываются количества частей, а размер каждой части не меняется. Именно поэтому знаменатель остаётся 7.

При вычитании происходит обратное действие: из имеющегося количества одинаковых долей убирают часть таких же долей. Например, 6/11 − 2/11 означает, что из шести одиннадцатых убрали две одиннадцатых, и осталось 4/11. Знаменатель показывает размер каждой доли и потому не меняется. Меняется только числитель — число оставшихся долей.

Доли с разными знаменателями напрямую складывать нельзя, потому что они имеют разный размер. Например, 1/2 — это половина целого, а 1/3 — треть; одна доля не равна другой. Сначала нужно разделить целое на одинаковые части и выразить обе дроби в таких долях. Только после этого числители можно складывать или вычитать.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала находят общее кратное их знаменателей. Например, для 3 и 8 удобно взять 24. Для дроби 2/3 дополнительный множитель равен 24 : 3 = 8, поэтому 2/3 = 16/24; для 5/8 множитель равен 24 : 8 = 3, поэтому 5/8 = 15/24. Теперь действие выполняют с одинаковыми знаменателями.

После вычисления проверьте, можно ли сократить дробь: разделить числитель и знаменатель на общий делитель. Если числитель больше знаменателя, дробь неправильная, и из неё можно выделить целую часть. Например, 11/6 = 1 5/6, потому что 11 = 6 · 1 + 5. Такая запись часто удобнее для ответа.

Сложение и вычитание дробей

Сначала определите, одинаковы ли знаменатели. Если нет, найдите общий знаменатель и дополнительные множители для обеих дробей.

После действия обязательно посмотрите на результат: возможно сокращение или выделение целой части.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 3/11 + 5/11 и 9/13 − 4/13. В каждой паре знаменатели уже одинаковые, поэтому приводить дроби ни к чему не нужно.

1. Сложим числители первой пары: 3 + 5 = 8. Получаем 8/11.
2. Вычтем числители второй пары: 9 − 4 = 5. Получаем 5/13.
3. Проверим ответы: ни в одной дроби числитель и знаменатель не имеют общего делителя больше 1.

Ответ: 8/11 и 5/13.

Задача 2. Вычислите 2/3 + 5/8. Знаменатели различаются, поэтому сначала представим обе дроби в двадцать четвёртых долях.

1. Наименьшее общее кратное 3 и 8 равно 24.
2. Для 2/3 дополнительный множитель 8: 2/3 = 16/24.
3. Для 5/8 дополнительный множитель 3: 5/8 = 15/24.
4. Складываем числители: 16/24 + 15/24 = 31/24.
5. Дробь неправильная, поэтому выделяем целую часть: 31/24 = 1 7/24.

Ответ: 1 7/24.

Задача 3. Вычислите 2 1/6 − 5/9. Целую часть временно оставим, а дробные части приведём к общему знаменателю 18.

1. 1/6 = 3/18, потому что дополнительный множитель равен 3; 5/9 = 10/18, множитель равен 2.
2. Получаем 2 3/18 − 10/18, но 3/18 меньше 10/18. Занимаем одну целую: 2 3/18 = 1 21/18.
3. Вычитаем дробные части: 21/18 − 10/18 = 11/18.
4. Итог равен 1 11/18. Сократить 11/18 нельзя.

Ответ: 1 11/18.

Типичные ошибки

Складывают знаменатели. Например, записывают 2/7 + 3/7 = 5/14. Так делают, потому что пытаются сложить все числа сразу, но знаменатель обозначает размер доли. Проверьте себя правилом: при одинаковых знаменателях меняется только числитель.

Складывают числители при разных знаменателях. Запись 1/2 + 1/3 = 2/5 неверна, ведь половина и треть имеют разный размер. Сначала найдите общий знаменатель, а затем выполните действие.

Умножают только знаменатель на дополнительный множитель. Если из 2/3 делают 2/12, значение дроби изменяется. Умножайте числитель и знаменатель вместе, а для проверки сравните исходную и новую дробь.

Меняют порядок вычитания или сокращают неудачно. В выражении a − b первым остаётся уменьшаемое, а вторым — вычитаемое. Сокращать можно только числитель и знаменатель одной дроби на общий делитель; после преобразования проверьте знак и равенство дробей.

Связь с другими темами

До начала работы нужны навыки сокращения дробей, поиска общего знаменателя и вычислений с натуральными числами. Без них трудно правильно подобрать дополнительные множители.

Правила используются при действиях со смешанными числами, решении уравнений и текстовых задач с дробными величинами. Например, с их помощью находят общий путь, время или количество израсходованного материала.

Сложение и вычитание дробей — часть действий с рациональными числами. Те же приёмы помогают работать с положительными и отрицательными дробями.

Что запомнить

• При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складывают числители.
• При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями вычитают числители.
• Знаменатель при этих действиях не меняется.
• Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю.
• При приведении дроби к новому знаменателю числитель и знаменатель умножают на одно и то же число.
• Полученный ответ сокращают, если числитель и знаменатель имеют общий делитель.