"Математика", Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.
Обыкновенные дроби помогают описывать части целого: например, доли пути, пирога или часа. Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно учитывать размер этих долей. Если знаменатели одинаковые, складывают или вычитают только числители. Если знаменатели разные, сначала заменяют дроби равными дробями с общим знаменателем. После вычисления проверяют, можно ли сократить результат или выделить из неправильной дроби целую часть.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обыкновенная дробь — это запись числа вида 3/5. Число сверху называют числителем, а число снизу — знаменателем: знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Эти два числа помогают понять, какого размера доли и сколько их.
Дроби с одинаковыми знаменателями — это дроби, у которых нижние числа равны, например 2/7 и 5/7. Они выражают части одного размера, потому что целое в обоих случаях разделено на одинаковое число равных долей. Это нужно, чтобы складывать или вычитать количество таких долей.
Дроби с разными знаменателями — дроби, у которых знаменатели не равны, например 1/2 и 1/3. Их доли имеют разный размер: половина больше трети. Перед сложением или вычитанием такие дроби приводят к общему знаменателю, чтобы работать с долями одинакового размера.
Общий знаменатель — число, которое делится на знаменатели всех дробей в выражении. К нему приводят дроби, чтобы сравнять размеры долей. Например, для дробей со знаменателями 2 и 3 общим знаменателем может быть 6.
При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют прежним. Например, 2/9 + 4/9 = 6/9: мы взяли две девятых и добавили ещё четыре девятых, то есть получили шесть таких долей. Знаменатель не меняется, потому что размер каждой доли остался равен одной девятой.
При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями вычитают числители и сохраняют знаменатель. В записи 5/8 − 2/8 из пяти долей размером в одну восьмую убирают две такие доли, остаются три восьмых. Вычитать знаменатели не нужно: убирают доли, а не меняют их размер.
Если знаменатели разные, доли имеют разный размер, поэтому нельзя сразу складывать или вычитать числители. Например, половинка и третья часть целого — не одинаковые кусочки. Чтобы узнать общий результат, обе величины сначала выражают долями одного размера.
Для этого выбирают общий знаменатель и заменяют каждую дробь равной ей дробью с таким знаменателем. Чтобы значение дроби не изменилось, числитель и знаменатель умножают на одно и то же число: например, 1/2 = 3/6. Затем выполняют действие с числителями, как у дробей с одинаковыми знаменателями.
После сложения или вычитания полезно проверить, можно ли упростить ответ. Если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, дробь сокращают, например 6/9 = 2/3. Если получилась неправильная дробь, то есть числитель не меньше знаменателя, можно выделить целую часть: например, 7/4 = 1 3/4.
В таблице собраны действия для дробей с одинаковыми и разными знаменателями. Сначала найди подходящую строку по виду примера, затем посмотри, что делать со знаменателями и числителями. В последней строке указаны действия, которые выполняют уже после вычисления.
| Случай | Что сделать со знаменателями | Что сделать с числителями | Результат |
|---|---|---|---|
| Сложение дробей с одинаковыми знаменателями | Оставить общий знаменатель | Сложить | Сумма с прежним знаменателем |
| Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями | Оставить общий знаменатель | Вычесть | Разность с прежним знаменателем |
| Сложение дробей с разными знаменателями | Сначала привести к общему | Сложить после приведения | Сумма дробей с общим знаменателем |
| Вычитание дробей с разными знаменателями | Сначала привести к общему | Вычесть после приведения | Разность дробей с общим знаменателем |
| Действия после вычисления | Знаменатель не меняют | Проверить результат | Сократить дробь или выделить целую часть, если возможно |
Задача 1. Вычислите 2/9 + 4/9. Знаменатели равны, значит, обе дроби показывают девятые доли. Можно сразу сложить числители, а знаменатель оставить прежним. В конце проверим, можно ли сократить ответ.
Ответ: 2/3. Проверка: две девятых плюс четыре девятых — шесть девятых, а шесть девятых составляют две трети. При сокращении значение дроби не изменилось.
Задача 2. Вычислите 5/6 − 1/4. Доли шестые и четверти имеют разный размер, поэтому сразу вычитать числители нельзя. Общим знаменателем для 6 и 4 выберем 12: на него делятся оба числа. Превратим дроби в равные им доли с таким знаменателем.
Ответ: 7/12. Проверим порядок: 5/6 больше 1/4, так что результат вычитания положительный. Сократить 7/12 нельзя, потому что у чисел 7 и 12 нет общего делителя, кроме 1.
Задача 3. За первый день турист прошёл 3/8 маршрута, а за второй — 1/3 маршрута. Какую часть маршрута он прошёл за два дня и какая часть осталась? Сначала найдём пройденную часть: для сложения нужен общий знаменатель 8 и 3. Затем сравним её с целым маршрутом, который можно записать как 1/1.
Ответ: за два дня турист прошёл 17/24 маршрута, осталось 7/24. Проверка: 17/24 + 7/24 = 24/24, то есть весь маршрут. Значит, найденные части вместе составляют целое.
Ошибка: складывать или вычитать знаменатели вместе с числителями. Так делают, потому что воспринимают дробь как пару отдельных чисел, но знаменатель обозначает размер доли, а не её количество. Проверь себя: у одинаковых долей после действия их размер должен остаться прежним.
Ошибка: складывать или вычитать дроби с разными знаменателями без приведения. Часто кажется, что достаточно выполнить действие с верхними числами, но половины и трети имеют разный размер. Проверь знаменатели: если они не равны, сначала найди общий и замени дроби равными им.
Ошибка: при приведении к общему знаменателю умножить только знаменатель. Это меняет значение дроби, хотя цель — записать то же количество другими долями. Проверь преобразование: множитель у числителя и знаменателя должен быть одинаковым, например 1/2 = 3/6.
Ошибка: забыть сократить результат или вычесть большую дробь из меньшей, когда нужен положительный ответ. Сокращение пропускают из-за спешки, а порядок вычитания путают при переносе чисел в пример. Проверь, что уменьшаемое не меньше вычитаемого, а числитель и знаменатель результата не имеют общего делителя.
Чтобы уверенно складывать и вычитать дроби, нужно знать, что такое доля целого, и различать числитель и знаменатель. Ещё пригодятся умножение и деление натуральных чисел: они нужны, чтобы искать общий знаменатель и получать равные дроби. Эти действия встречаются в задачах о частях целого, например о пройденном пути или потраченном времени. Они также помогают сравнивать дроби и готовят к дальнейшим действиям с обыкновенными дробями.
Почему при сложении дробей знаменатели не складывают?
Знаменатель показывает размер долей, а числитель — их количество. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями мы считаем доли одинакового размера, поэтому складываем их количество, а размер доли не меняется.
Как найти общий знаменатель двух дробей?
Найди число, которое делится без остатка на оба знаменателя. Например, для 6 и 4 подойдёт 12. Затем замени каждую дробь равной ей дробью с таким знаменателем.
Можно ли для общего знаменателя взять произведение знаменателей?
Да, произведение знаменателей всегда делится на каждый из них, поэтому его можно использовать как общий знаменатель. Но иногда можно выбрать число поменьше, чтобы вычисления были проще.
Что делать, если при вычитании первая дробь меньше второй?
Вычитание натуральных дробей в таком порядке не даст положительного результата. Проверь, правильно ли записано условие и не перепутан ли порядок дробей. Если по условию нужно вычесть большую дробь из меньшей, результат будет отрицательным, а отрицательные числа изучают позже.
Нужно ли сокращать дробь после сложения или вычитания?
Если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, дробь можно сократить. Это не меняет её значения, а делает запись проще. Если сократить нельзя, оставь результат как есть.
33. Сложение и вычитание дробей
