9.1. Сложение и вычитание дробей

Определения и обозначения

Обыкновенная дробь — это запись части целого с помощью числителя и знаменателя. Например, в дроби 3/8 целое разделили на равные части и взяли три из них. Такое обозначение помогает точно показать количество взятой части, а не описывать её словами.

Числитель дроби — число над чертой. Он показывает, сколько долей взято из целого. По числителю мы понимаем, сколько одинаковых кусочков нужно учитывать при сложении или вычитании.

Знаменатель дроби — число под чертой. Он показывает, на сколько равных долей разделили целое, то есть задаёт размер одной доли. Благодаря знаменателю можно понять, одинаковы ли части в двух дробях.

Дроби с одинаковыми знаменателями — это дроби, у которых знаменатели равны. Значит, их доли имеют одинаковый размер, поэтому такие дроби можно складывать и вычитать по числителям. Например, 2/9 и 4/9 состоят из девятых долей.

Как это устроено

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складывают числители, потому что складывается количество долей одного размера. Например, две восьмых и три восьмых дают пять восьмых: размер доли не изменился, стало только больше самих долей. Поэтому знаменатель остаётся прежним, а числители объединяются.

Запись выполняют по правилу: знаменатель переписывают без изменения, а числители складывают. Так, 3/10 + 4/10 = (3 + 4)/10 = 7/10. Нельзя складывать знаменатели, потому что это означало бы изменить размер доли во время действия.

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями вычитают числители. Из нескольких одинаковых долей убирают некоторое количество таких же долей, поэтому размер каждой доли остаётся тем же. Например, из 7/12 можно убрать 2/12, и останется 5/12.

Перед вычитанием проверьте порядок чисел: уменьшаемое должно быть не меньше вычитаемого, если ожидается неотрицательный результат. Затем оставьте общий знаменатель и вычтите числители, например 9/11 − 4/11 = 5/11. Ответ полезно проверить по количеству долей: после удаления части их должно стать меньше или столько же.

Результат связывают с исходной задачей, а не только с правилом вычисления. При сложении количество долей увеличивается, при вычитании уменьшается, поэтому ответ должен это отражать. Если числитель и знаменатель результата делятся на одно и то же число, дробь сокращают, не меняя её значения.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Сначала найдите знаменатели и убедитесь, что они одинаковые. Затем выберите нужную строку таблицы, выполните действие с числителями и сохраните знаменатель.

После вычисления проверьте знак и смысл ответа, а затем посмотрите, можно ли сократить дробь. Сокращать нужно числитель и знаменатель на одно и то же число.

Разбор задач

Задача 1

Вычислите: 3/8 + 2/8. Знаменатели одинаковые, значит, доли имеют один размер и можно применить правило сложения.

1. Складываем числители: 3 + 2 = 5.
2. Знаменатель 8 оставляем без изменения, потому что размер доли не меняется.
3. Записываем результат: 3/8 + 2/8 = 5/8.

Ответ: 5/8. Сократить эту дробь нельзя, потому что 5 и 8 не имеют общего делителя, кроме 1.

Задача 2

Вычислите: 9/11 − 4/11. Здесь знаменатели равны, а 9 больше 4, поэтому результат будет неотрицательным.

1. Вычитаем числители: 9 − 4 = 5.
2. Знаменатель 11 сохраняем.
3. Получаем: 9/11 − 4/11 = 5/11.

Ответ: 5/11. Проверка показывает, что после удаления четырёх одиннадцатых осталось пять одиннадцатых.

Задача 3

За первый день прочитали 2/9 книги, а за второй — ещё 4/9. Какую часть книги прочитали за два дня и какая часть осталась? Сначала найдём прочитанную часть, затем сравним её со всей книгой.

1. Складываем прочитанные части: 2/9 + 4/9 = 6/9.
2. Всю книгу записываем как 9/9, потому что девять девятых составляют одно целое.
3. Находим остаток: 9/9 − 6/9 = 3/9.
4. Сокращаем 3/9 на 3 и получаем 1/3.

Ответ: за два дня прочитали 6/9 книги, то есть 2/3, а осталось 3/9, то есть 1/3 книги. Проверка: прочитанная и оставшаяся части вместе дают 1.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать или вычитать знаменатели вместе с числителями. Так делают, забывая, что знаменатель задаёт размер доли, а не её количество. Проверьте себя: при одинаковых знаменателях внизу должен остаться тот же знаменатель.

Вторая ошибка — оставить знаменатель правильно, но неверно выполнить действие с числителями. Причина обычно в спешке или невнимательности. Выпишите действие отдельно: сначала посчитайте числители, затем поставьте общий знаменатель.

Третья ошибка — вычесть меньший числитель из большего без учёта порядка дробей. Если уменьшаемое меньше вычитаемого, обычная разность не будет неотрицательной. Сравните дроби до вычисления и проверьте, что результат соответствует условию.

Четвёртая ошибка — не проверить и не сократить ответ. Например, в дроби 6/8 оба числа делятся на 2, поэтому она превращается в 3/4. Найдите общий делитель числителя и знаменателя и убедитесь, что значение дроби не изменилось.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно понимать, что показывают числитель и знаменатель, и уметь читать дробь как количество равных долей. Также понадобятся навыки сложения и вычитания натуральных чисел.

Полезно уметь записывать целое как дробь со знакомым знаменателем, например 1 = 9/9. Это помогает решать задачи на оставшуюся часть целого.

Позже правило станет основой действий с дробями с разными знаменателями. Оно пригодится и в задачах, где нужно найти часть величины или узнать, сколько осталось.

Что запомнить

• Этим способом складывают и вычитают дроби с одинаковыми знаменателями.
• При сложении складывают числители.
• При вычитании вычитают числители.
• Знаменатель при сложении и вычитании не меняется.
• При вычитании результат зависит от порядка дробей.
• Если числитель и знаменатель можно разделить на одно и то же число, дробь сокращают.