"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Натуральные числа можно записывать не только целыми, но и в виде дробей, а неправильные дроби — превращать в смешанные числа. Такие записи помогают увидеть, сколько целых единиц и какая часть единицы составляют число. Чтобы выполнять преобразования, нужно понимать роль числителя и знаменателя и уметь делить с остатком. Главное — сохранять значение числа: разные записи могут обозначать одно и то же количество.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число — целое положительное число: 1, 2, 3 и так далее. Его можно записать как дробь, например 6 = 6/1. Такая запись показывает, что целое число тоже можно представить с помощью дроби.
Обыкновенная дробь — запись вида a/b, где a называют числителем, а b — знаменателем. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Числитель показывает, сколько частей взяли, а знаменатель — на сколько равных частей разделили целое.
Неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 7/4 и 5/5 — неправильные дроби. Их значение не меньше единицы: если взять не меньше частей, чем нужно для целого, получится хотя бы одна целая единица.
Смешанное число состоит из целой части и правильной дроби, например 2 3/5. Оно показывает, сколько целых единиц есть в числе и какая часть добавлена к ним. Такая запись удобна, когда неправильную дробь можно разделить на целые единицы и остаток.
Любое натуральное число n можно записать дробью n/1. Знаменатель 1 означает, что целое не делили на несколько частей: одна часть и есть всё целое. Поэтому значение дроби n/1 равно n, а не меняется при переходе к новой записи. Например, 8 = 8/1.
Чтобы превратить неправильную дробь в смешанное число, делят числитель на знаменатель с остатком. Это деление отвечает на вопрос, сколько раз знаменатель помещается в числителе целиком. Частное показывает число целых единиц, а оставшиеся части записывают дробью с прежним знаменателем. Например, 17 : 5 = 3 и остаток 2, значит, 17/5 = 3 2/5.
Смешанное число можно вернуть к неправильной дроби. Если целая часть равна m, а знаменатель — b, то в m целых содержится m · b частей размера 1/b. К ним нужно прибавить a частей, уже указанных в дробной части. Поэтому m a/b = (m · b + a)/b; например, 3 2/5 = (3 · 5 + 2)/5 = 17/5.
Чтобы узнать, является ли значение дроби натуральным числом, нужно разделить числитель на знаменатель. Если деление выполняется без остатка, частное и есть натуральное значение дроби: например, 18/6 = 3. Если остаток есть, дробь не равна целому числу, хотя у неё может быть целая часть. Так, 17/5 имеет целую часть 3, но всё значение не является натуральным.
Разные записи равны, когда обозначают одно и то же количество. При переводе неправильной дроби в смешанное число деление с остатком сохраняет все части: целые части дают частное, а оставшиеся — остаток. Проверить результат можно обратным действием: перевести смешанное число обратно в неправильную дробь. Если получилась исходная дробь, преобразование выполнено верно.
| Вид записи | Общий вид | Как получить | Пример | Что означает |
|---|---|---|---|---|
| Натуральное число как дробь | n = n/1 | Записать знаменатель 1 | 6 = 6/1 | Целое число, представленное дробью |
| Неправильная дробь | a/b, a ≥ b | Выделить целую часть делением | 17/5 = 3 2/5 | Число не меньше 1 |
| Смешанное число | m a/b | Преобразовать в дробь по правилу (m · b + a)/b | 3 2/5 = 17/5 | Сумма целой и дробной частей |
| Дробь со значением натурального числа | a/b = n | Проверить делимость числителя на знаменатель | 18/6 = 3 | Деление выполняется без остатка |
Сначала определите, какая запись дана, а затем выберите соответствующее правило. Для смешанного числа и неправильной дроби преобразование можно проверить, выполнив его в обратную сторону. Чтобы узнать, целое ли значение у дроби, проверяйте деление числителя на знаменатель.
Задача 1. Запишите число 8 в виде дроби со знаменателем 3. Здесь нельзя просто поставить 3 в знаменатель: значение записи изменится. Нужно подобрать числитель так, чтобы дробь по-прежнему была равна 8. Поскольку 8 целых содержат 8 · 3 третей, получаем дробь 24/3.
Ответ: 8 = 24/3. Числитель и знаменатель умножили на одно и то же число, поэтому значение дроби сохранилось.
Задача 2. Преобразуйте 29/6 в смешанное число, а 4 1/7 — в неправильную дробь. В первой части надо узнать, сколько целых шестерок помещается в 29 и сколько частей останется. Во второй части считаем, сколько седьмых составляют четыре целых, а затем добавляем одну седьмую. Так для обоих примеров сохраняется общее количество частей.
Ответ: 29/6 = 4 5/6; 4 1/7 = 29/7. Проверка первого преобразования: (4 · 6 + 5)/6 = 29/6, а второго: 29 : 7 = 4 и остаток 1.
Задача 3. Из чисел 15/4, 21/7, 32/9 и 6 5/8 выберите числа с натуральным значением, а остальные представьте в удобном виде. Для дробей проверим, делится ли числитель на знаменатель. Если остаток есть, выделим целую часть делением. Смешанное число оставим в таком виде: оно уже показывает целое и дробную части.
Ответ: натуральное значение имеет только 21/7. Остальные записи в удобном виде: 15/4 = 3 3/4, 32/9 = 3 5/9 и 6 5/8.
Иногда натуральное число n записывают как n/0. Это неверно: знаменатель показывает, на сколько частей разделили целое, а делить на ноль нельзя. Ошибку допускают, путая знаменатель с числом, которое можно выбрать произвольно. Проверьте себя: в знаменателе любой обыкновенной дроби должно стоять число, отличное от нуля.
При переводе смешанного числа в неправильную дробь могут сложить целую часть с числителем и забыть умножить целую часть на знаменатель. Например, для 3 2/5 неверно получить 5/5: три целых — это не три пятых, а пятнадцать пятых. Сначала умножьте целую часть на знаменатель, затем прибавьте числитель. Обратное преобразование поможет проверить ответ.
При выделении целой части в числитель дробной части иногда записывают частное вместо остатка. Частное уже обозначает целую часть, а дробными остаются только части, которые не составили целое. Например, при делении 17 на 5 частное 3, остаток 2, поэтому получается 3 2/5. Умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте остаток: должно выйти 17.
Неправильную дробь иногда сразу считают натуральным числом, потому что её числитель не меньше знаменателя. Но это означает только, что значение не меньше единицы; целое число получится лишь при делении без остатка. Например, 15/4 — неправильная дробь, но 15 на 4 без остатка не делится. Для проверки всегда выполните деление.
Чтобы разбираться в этих преобразованиях, нужно знать, что показывают числитель и знаменатель, и уметь делить с остатком. Эти умения понадобятся при сравнении, сложении и вычитании дробей, в которых есть целые части: смешанное число можно сначала преобразовать в неправильную дробь. Такие записи также помогают решать текстовые задачи, где количество состоит из целых единиц и части единицы. При вычислении выражений преобразование дробей позволяет выбрать удобный вид записи.
Почему натуральное число записывают именно со знаменателем 1?
Деление на 1 не меняет число: n : 1 = n. Поэтому дробь n/1 имеет то же значение, что и натуральное число n.
Можно ли неправильную дробь оставить в таком виде или обязательно переводить её в смешанное число?
Можно оставить её неправильной дробью: это верная запись числа. Смешанное число иногда удобнее, потому что сразу показывает целую часть и остаток.
Что делать, если при делении числителя на знаменатель остаток равен нулю?
Тогда дробь равна частному, то есть натуральному числу. Например, 18/6 = 3, поэтому дробную часть записывать не нужно.
Почему при переводе смешанного числа целую часть умножают на знаменатель?
Умножение показывает, сколько частей со знаменателем b содержится в целой части m: это m · b частей. Затем к ним прибавляют числитель дробной части.
Как быстро проверить, является ли дробь натуральным числом?
Разделите числитель на знаменатель. Если деление выполняется без остатка, значение дроби — натуральное число.
8.6. Натуральные числа и дроби
