5.3. Натуральные числа и дроби

Определения и обозначения

Натуральные числа — это числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Например, число 4 может обозначать четыре яблока, а 15 — номер страницы. Такие числа помогают сообщить, сколько предметов есть или какое место предмет занимает. В принятом здесь обозначении натуральный ряд начинается с 1, поэтому 0 к натуральным числам не относят.

Обыкновенная дробь — это запись вида a/b, где числа a и b разделены чертой. Она показывает деление числа a на число b, а также может обозначать часть целого. Например, 3/4 означает три четверти. Такая запись нужна, когда одного целого числа недостаточно, чтобы описать результат деления или выбранную часть.

Числитель — число, записанное над дробной чертой. Он показывает, сколько равных частей взяли или рассматривают. В дроби 3/4 числитель равен 3, значит, речь идёт о трёх частях. По числителю можно понять, сколько частей целого отмечено, но для этого нужно знать и размер каждой части.

Знаменатель — число под дробной чертой. Он показывает, на сколько равных частей разделили целое, и не может быть равен нулю: деление на ноль не определено. В записи 3/4 знаменатель равен 4, значит, целое делят на четыре равные части. Знаменатель помогает понять, какого размера одна такая часть.

Как это устроено

Натуральными числами считают предметы, потому что каждому предмету можно сопоставить одно число: первый, второй, третий и так далее. Если нужно узнать количество карандашей, пересчитывают их и называют последнее число счёта. Натуральные числа также обозначают порядок, например место участника в очереди или номер страницы. В таком случае число отвечает не на вопрос «сколько?», а на вопрос «который?».

Дробь появляется, когда целое нужно разделить или описать не целиком, а частями. Например, если пирог делят между несколькими людьми, удобно указать, сколько равных долей досталось каждому. Поэтому в записи a/b дробная черта означает деление a на b. Делитель b не должен быть нулём: нельзя разделить предмет на ноль частей, и само деление на ноль не имеет результата.

Представь круг, разделённый на шесть одинаковых секторов, из которых закрашены два. Внизу дроби пишут 6, потому что целый круг разделили на шесть равных частей. Вверху пишут 2, потому что закрашены две части. Равенство частей обязательно: если секторы разного размера, запись 2/6 уже не описывает долю круга правильно.

Натуральное число можно записать дробью со знаменателем 1, потому что деление на единицу не меняет число: 5 = 5/1. Это позволяет использовать дробную запись и для целых чисел, и для результатов деления, которые не являются целыми. Например, 7/3 означает деление семи на три и не равно натуральному числу. Значит, по одному виду записи нельзя заключить, что число обязательно меньше единицы или является частью одного предмета.

При чтении записи важно различать число и способ, которым его записали. Натуральное число 5 можно обозначить записью 5 или 5/1: значение остаётся тем же, хотя запись изменилась. В дроби сначала найди черту, затем определи число над ней и число под ней. Так ты не перепутаешь, сколько частей взяли и на сколько частей разделили целое.

Натуральные числа и обыкновенные дроби

Сначала определи, какую запись рассматриваешь: натуральное число или дробь. Если видишь дробную черту, найди числитель сверху и знаменатель снизу. Затем прочитай запись целиком и объясни, что она обозначает в задаче.

Разбор задач

Задача 1. Запишите натуральными числами количество предметов в наборе из 8 карандашей и номер страницы 15. Нужно определить, где число отвечает на вопрос «сколько?», а где — на вопрос «какой по порядку?». Оба значения записываются натуральными числами, но обозначают разное.

1. В наборе пересчитали карандаши и получили количество 8.
2. Номер страницы дан в условии и равен 15.
3. Записываем эти значения соответственно: 8 и 15, не смешивая количество предметов с номером.

Ответ: 8 карандашей; страница 15.

Задача 2. Круг разделили на 6 равных частей, 2 части закрасили. Запишите закрашенную часть дробью и объясните числа в записи. Для дроби нужно отдельно выяснить, сколько частей составляют целое и сколько из них закрашено. Условие подчёркивает, что части равные, поэтому их можно описать одной дробью.

1. Целое разделили на шесть равных частей — это знаменатель.
2. Закрасили две части — это числитель.
3. Записываем числитель над чертой, знаменатель под ней: 2/6.

Ответ: закрашенная часть круга — 2/6; знаменатель 6 показывает число равных частей, числитель 2 — сколько частей закрашено.

Задача 3. Запишите дробью число, которое означает деление 7 на 3, прочитайте дробь и укажите роли чисел 7 и 3. Здесь не требуется изображать предмет или круг: достаточно перевести действие деления в дробную запись. Делимое окажется над чертой, а делитель — под ней.

1. Записываем делимое 7 над дробной чертой.
2. Под чертой записываем делитель 3 и получаем 7/3.
3. Читаем запись «семь третьих»; она означает деление 7 на 3. Число 7 — числитель, а 3 — знаменатель.

Ответ: 7/3, «семь третьих»; 7 — числитель, 3 — знаменатель.

Типичные ошибки

Иногда числитель и знаменатель меняют местами: в записи 2/6 решают, что 2 показывает число всех частей, а 6 — число взятых. Так происходит, если забыть, что знаменатель стоит снизу и сообщает, на сколько частей разделили целое. Проверь себя вопросами: «Сколько частей всего?» и «Сколько взяли?». Первому соответствует знаменатель, второму — числитель.

Некоторые считают, что знаменатель может быть нулём, например записывают 3/0. Ошибка возникает, если воспринимать дробную черту только как знак записи и забыть о делении. Но такой пример означал бы деление на ноль, которое не определено. Проверяй знаменатель перед чтением или вычислением дроби: он не должен равняться нулю.

Дробь порой называют частью целого, не проверив, равны ли части. Это неверно, если предмет разделён на куски разного размера: одна доля тогда не соответствует другой. Уточни, на сколько частей разделили целое и одинаковы ли они. Если части не равные, обычное толкование дроби как доли целого не подходит.

Ещё одна ошибка — путать количество предметов с их порядковым номером или считать, что любая дробь меньше единицы. Порядковое число называет место предмета, а дробь может обозначать результат деления, например 7/3, или натуральное число, например 5/1. Такие выводы делают, ориентируясь только на внешний вид записи. Проверяй, что именно спрашивает задача, и вспоминай: дробная запись не обязательно означает часть одного целого.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о натуральном ряде: он помогает записывать результаты счёта и различать числа. Полезно уметь определять разрядный состав чисел и понимать действие деления, ведь дробная запись a/b соответствует делению a на b. Эти представления соединяются, когда целое делят на равные части. Дальше дроби понадобятся для сравнения чисел, выполнения действий и решения задач на части величины.

Что запомнить

• Натуральные числа используют для счёта и обозначения порядка.
• Дробь a/b связана с делением a на b.
• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое.
• Числитель показывает, сколько таких частей взяли.
• Знаменатель не может быть равен нулю.
• Натуральное число можно записать дробью со знаменателем 1.