5.4. Основное свойство дроби. Приведение дробей к общему знаменателю

Определения и обозначения

Основное свойство дроби — дробь не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, отличное от нуля. Числитель показывает, сколько частей взяли, а знаменатель — на сколько равных частей разделили целое. Свойство помогает записывать одну и ту же величину разными дробями. Например, 2/3 = 4/6, потому что обе части первой дроби умножили на 2.

Равные дроби — дроби с разными числителями и знаменателями, которые обозначают одну и ту же величину. Например, 1/2 и 2/4 показывают половину целого, хотя записаны по-разному. Равные дроби нужны, чтобы заменить неудобную запись удобной для вычислений. Проверить равенство можно, используя основное свойство дроби.

Общий знаменатель — число, которое выбирают знаменателем для нескольких дробей и которое делится на каждый из их исходных знаменателей. Для дробей 1/2 и 1/3 общим знаменателем будет 6: оно делится и на 2, и на 3. Такой знаменатель нужен, чтобы представить части целого одинакового размера. Тогда дроби можно сравнивать по числителям.

Приведение дробей к общему знаменателю — замена дробей равными им дробями с одним и тем же знаменателем. Например, 1/2 можно заменить на 3/6, а 1/3 — на 2/6. Значение каждой дроби при этом сохраняется. Этот приём помогает сравнивать дроби, а также готовит к сложению и вычитанию дробей с разными знаменателями.

Как это устроено

При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число дробь не меняется, потому что оба числа становятся больше в одинаковое число раз. Например, если каждую из трёх равных частей разделить ещё на 4 части, то частей станет 12, а взятых маленьких частей — 8 вместо 2. Доля целого остаётся той же: 2/3 = 8/12. Поэтому из одной дроби можно получить много равных ей дробей.

Деление числителя и знаменателя на один и тот же общий делитель тоже сохраняет значение дроби. Оба числа уменьшаются одинаково, поэтому отношение между ними не меняется. Например, 6/8 можно разделить на 2 и получить 3/4. Так дробь упрощают: запись становится короче, но обозначает ту же величину.

Чтобы привести дробь к выбранному общему знаменателю, сначала выясни, во сколько раз он больше её знаменателя. Именно во столько раз надо увеличить числитель, иначе изменится размер доли. Например, для знаменателя 12 у дроби 2/3 множитель равен 4, потому что 3 × 4 = 12. Значит, умножаем на 4 и числитель, и знаменатель: 2/3 = 8/12.

Общий знаменатель должен делиться на знаменатели всех данных дробей: иначе нельзя получить нужный знаменатель, умножая исходные знаменатели на натуральные числа. Можно выбрать произведение этих знаменателей. Например, для 5/6 и 7/9 произведение 6 × 9 = 54 подходит, потому что делится и на 6, и на 9. Иногда находится меньший общий знаменатель, но произведение — простой способ, который всегда подходит.

После приведения знаменатели становятся одинаковыми, то есть дроби отсчитывают одинаковые по размеру части целого. Поэтому для сравнения достаточно посмотреть на числители: чем больше таких частей взяли, тем больше дробь. Например, 5/12 больше 3/12. Сравнивать только числители у дробей с разными знаменателями нельзя: сами части могут иметь разный размер.

Основное свойство дроби и приведение к общему знаменателю

Выбери действие и проследи, чтобы числитель и знаменатель изменялись одинаково. При приведении к общему знаменателю сначала найди нужный множитель для каждой дроби. После этого проверь, что новые знаменатели совпадают, а дроби сохранили своё значение.

Разбор задач

Задача 1. Приведи дробь 2/3 к знаменателю 12. Нужно понять, на какое число умножить знаменатель 3, чтобы получить 12. Затем по основному свойству дроби выполни такое же умножение для числителя.

1. Находим множитель: 12 ÷ 3 = 4.
2. Умножаем числитель и знаменатель на 4: 2 × 4 = 8, 3 × 4 = 12.
3. Записываем равенство: 2/3 = 8/12.

Ответ: 8/12. Проверка проста: знаменатель стал равен 12, а числитель изменён тем же множителем, поэтому дробь сохранила своё значение.

Задача 2. Приведи дроби 5/6 и 7/9 к общему знаменателю, взяв произведение знаменателей. Произведение 6 × 9 = 54 будет подходить обеим дробям. Для каждой дроби найди, во сколько раз 54 больше её знаменателя, и используй этот множитель для числителя.

1. Для дроби 5/6: 54 ÷ 6 = 9, значит, 5/6 = (5 × 9)/(6 × 9) = 45/54.
2. Для дроби 7/9: 54 ÷ 9 = 6, значит, 7/9 = (7 × 6)/(9 × 6) = 42/54.
3. Проверяем: оба новых знаменателя равны 54, а в каждой дроби числитель и знаменатель умножены на одно число.

Ответ: 45/54 и 42/54. Общий знаменатель выбран как произведение 6 и 9; полученные дроби равны исходным.

Задача 3. Приведи дроби 3/8, 5/12 и 7/6 к общему знаменателю и расположи их по возрастанию. Найдём число, которое делится на 8, 12 и 6. Произведение подходит, но здесь удобно взять 24: оно делится на все три знаменателя.

1. Для 3/8 множитель равен 24 ÷ 8 = 3, поэтому 3/8 = 9/24.
2. Для 5/12 множитель равен 24 ÷ 12 = 2, поэтому 5/12 = 10/24.
3. Для 7/6 множитель равен 24 ÷ 6 = 4, поэтому 7/6 = 28/24.
4. Сравниваем числители: 9 < 10 < 28. Значит, 9/24 < 10/24 < 28/24.

Ответ: 3/8 < 5/12 < 7/6. Такой порядок подходит, потому что после приведения знаменатели одинаковы, а сравнивать можно числители.

Типичные ошибки

Меняют только числитель или только знаменатель. Тогда отношение чисел меняется, и дробь уже обозначает другую величину. Так часто делают, потому что забывают, что числитель и знаменатель связаны. Проверь себя: при умножении или делении у обеих частей дроби должен быть один и тот же множитель.

Умножают числитель на нужное число, но забывают про знаменатель. В таком случае новый знаменатель не станет нужным общим знаменателем, а значение дроби изменится. Ошибка появляется, когда внимание сосредоточено только на вычислении числителя. Запиши действие сразу для обеих частей и проверь, что полученный знаменатель равен выбранному.

Выбирают число, которое не делится на один из знаменателей. Такой выбор не позволяет получить его умножением исходного знаменателя на натуральное число. Например, 12 не подойдёт для знаменателей 5 и 6, потому что на 5 оно не делится. Для проверки раздели выбранное число на каждый исходный знаменатель: во всех случаях должен получиться целый результат.

Сравнивают числители дробей с разными знаменателями. Больший числитель сам по себе не означает большую дробь, ведь части могут быть разного размера. Например, 3/4 больше 5/8, хотя 3 меньше 5. Сначала приведи дроби к одинаковому знаменателю, а затем сравни числители.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться с дробями, нужно знать, что показывает числитель и что показывает знаменатель. Также пригодятся умения находить кратные и делители натуральных чисел: они помогают подбирать общий знаменатель и множитель для преобразования дроби. Если одно число делится на другое без остатка, первое подходит как знаменатель для дроби со вторым знаменателем. Приведение дробей к общему знаменателю используют при сравнении, а позднее — при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.

Что запомнить

• Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, дробь не изменится.
• Делить числитель и знаменатель можно только на одно и то же число.
• Общий знаменатель должен делиться на каждый из исходных знаменателей.
• При приведении к общему знаменателю числитель и знаменатель каждой дроби умножают на один и тот же множитель.
• У дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.