"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Дробь помогает описать, какую часть целого мы взяли: например, 3/8 означает три доли из восьми равных. Если известно целое, по дроби можно вычислить величину его части. А если известна часть и указано, какую долю целого она составляет, можно восстановить целое. Главное — не путать роли числителя и знаменателя: знаменатель указывает число равных долей, а числитель — сколько долей взято.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Доля — одна из равных частей целого. Если целое разделили на 5 равных частей и взяли одну, записывают 1/5: число 1 показывает, сколько частей взяли, а 5 — на сколько частей разделили целое. Такая запись помогает точно назвать часть целого.
Обыкновенная дробь — запись вида a/b, где b показывает, на сколько равных частей разделили целое, а a — сколько таких частей взяли. Число сверху называют числителем, а число снизу — знаменателем. По этой записи можно понять, как связаны выбранная часть и всё целое.
Нахождение части от целого — определение количества, соответствующего заданной дроби от известного целого. Например, можно узнать, сколько сантиметров составляют 3/8 длины ленты, если известна вся её длина. Это нужно, когда в задаче дано общее количество и требуется выделить его долю.
Нахождение целого по его части — восстановление всего количества, если известны величина части и то, какую долю целого она составляет. Например, по длине 2/5 ленты можно определить длину всей ленты. Для этого важно знать, сколько равных долей содержит известная часть и сколько их в целом.
Чтобы найти одну долю целого, целое делят на число равных частей, указанное знаменателем дроби. Так мы распределяем всё количество поровну между долями. Например, если 35 разделить на 5 равных частей, в каждой будет 7: это величина одной пятой. Деление на знаменатель отвечает на вопрос, сколько приходится на одну долю.
Если нужно найти несколько долей, одного деления недостаточно: после него известна только одна доля. Поэтому результат деления целого на знаменатель умножают на числитель. Так, для 3/8 сначала находят одну восьмую, а затем берут три таких части. Значит, часть от целого находят так: целое делят на знаменатель и умножают на числитель, то есть умножают целое на дробь.
При нахождении целого по его части рассуждают в обратном направлении. Известная часть состоит из нескольких одинаковых долей, и их количество показывает числитель дроби. Поэтому величину известной части сначала делят на числитель: так находят одну долю. Например, если 2/5 равны 18 см, то на две доли приходится 18 см, а на одну — вдвое меньше.
Когда величина одной доли известна, всё целое находят умножением на знаменатель. Ведь знаменатель показывает, сколько таких долей нужно собрать, чтобы получить целое. Значит, известную часть делят на числитель, а результат умножают на знаменатель. Это равносильно делению известной части на дробь: например, 18 ÷ (2/5) = 45 см.
Перед вычислениями и после них полезно проверить смысл ответа. Если дробь меньше единицы, найденная часть должна быть меньше целого: она содержит лишь несколько из всех равных долей. При восстановлении целого ответ должен быть больше известной части, если она составляет только часть целого. Такая проверка помогает заметить перепутанные действия или ошибку в вычислениях.
| Что известно | Что требуется найти | Действие | Порядок рассуждения |
|---|---|---|---|
| Целое и дробь, задающая часть | Часть от целого | Разделить на знаменатель и умножить на числитель | Найти одну долю, затем взять нужное число долей |
| Целое и известная часть, заданная дробью | Целое по его части | Разделить на числитель и умножить на знаменатель | Найти одну долю, затем собрать все доли |
| Ответ вычисления | Проверка разумности ответа | Сравнить ответ с целым или частью | Проверить, соответствует ли размер результата условию |
Сначала определи, что дано: целое или его часть. Затем посмотри на дробь и реши, сколько долей уже известно и сколько нужно получить. Если действие выбрано верно, рассуждение сводится к поиску одной доли и переходу от неё к нужному количеству долей.
Нужно определить величину одной пятой числа 35. Дробь 1/5 означает, что целое разделено на пять равных долей и взята одна из них. Значит, достаточно разделить 35 на 5. Проверим, что пять таких частей действительно составят исходное число.
Ответ: 7.
Искомая часть состоит из трёх восьмых, поэтому сначала нужно узнать, сколько приходится на одну восьмую от 64. Для этого целое делят на 8. Затем берут три найденные доли, то есть умножают результат на числитель 3. Проверка покажет, что полученное число меньше 64, как и должно быть для дроби меньше единицы.
Ответ: 24.
Здесь 18 см — не вся лента, а две её равные доли. Сначала выясним, сколько сантиметров приходится на одну пятую: две доли вместе дают 18 см, поэтому делим на 2. Затем восстановим всю ленту: в целом пять таких долей, значит, величину одной доли нужно умножить на 5. Это обратный ход по сравнению с нахождением части от известного целого.
Ответ: длина всей ленты — 45 см.
При нахождении части иногда делят целое на числитель. Так делают, потому что числитель называют первым и принимают за число равных частей. Но число долей задаёт знаменатель, поэтому нужно сначала делить на него. Проверь себя: для одной доли 1/n должно получиться целое ÷ n.
Другая ошибка — разделить целое на знаменатель и остановиться, хотя требуется несколько долей. Это число показывает только величину одной доли, а не всей искомой части. Если числитель больше 1, результат нужно умножить на числитель. Проверь, сколько долей просит дробь: при 3/8 нужны три восьмых, а не одна.
При восстановлении целого могут умножить известную часть на дробь. Но это действие находит часть от известного целого, тогда как в задаче дано уже не целое, а часть. Нужно пройти обратный путь: найти одну долю, а потом все доли. Проверка умножением найденного целого на исходную дробь должна вернуть известную часть.
Ещё одна ошибка — делить известную часть на знаменатель. Знаменатель показывает число долей во всём целом, а известная часть содержит число долей, равное числителю. Поэтому сначала делят на числитель, чтобы найти одну долю. Перед вычислением назови вслух, сколько долей составляет данное количество, и сравни с числителем.
Для работы с долями нужно понимать смысл числителя и знаменателя, а также уверенно делить и умножать натуральные числа. Если эти действия пока вызывают трудности, сначала повтори их: весь способ нахождения части строится на них. Новые знания пригодятся в текстовых задачах, где величины делятся на равные части.
Такой способ рассуждения связан с процентами: процент тоже обозначает часть целого, только целое делят на сто долей. Он помогает и при изучении пропорциональных зависимостей, когда одно количество меняется вместе с другим в одинаковое число раз. Умение восстановить целое по части позволяет находить, например, всё расстояние, цену или количество по известной доле.
Почему при нахождении части сначала делят на знаменатель?
Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое. Чтобы узнать величину одной доли, целое делят именно на это число.
Что делать, если числитель дроби больше единицы?
Сначала раздели целое на знаменатель и найди одну долю. Затем умножь её величину на числитель, чтобы получить нужное число долей.
Как найти целое, если известна только его часть?
Нужно знать, какую долю составляет известная часть. Раздели её величину на числитель, чтобы найти одну долю, а затем умножь результат на знаменатель.
Почему при нахождении целого сначала делят на числитель?
Известная часть состоит из такого числа долей, какое показывает числитель. Деление на числитель помогает найти величину одной доли, после чего можно восстановить все доли.
Как проверить, что найденный ответ разумен?
Сравни ответ с условием задачи и выполни обратную проверку. Например, умножь найденное целое на заданную дробь: должна получиться известная часть.
5.2. Нахождение части от целого и целого по его части
