32. Натуральные числа и дроби

Определения и обозначения

Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов. В школьной записи ряд натуральных чисел начинается с 1: 1, 2, 3, 4 и так далее. Такие числа помогают назвать количество предметов или место предмета при счёте. Например, число 5 может обозначать пять книг.

Обыкновенная дробь — запись вида a/b, обозначающая частное a : b, где b ≠ 0. Буквой b обозначен знаменатель, поэтому он не может быть равен нулю. Дробная черта показывает действие деления, а сама запись помогает выразить часть целого. Например, 3/4 означает 3 : 4.

Числитель — число над чертой дроби. Он показывает, сколько равных частей рассматривают или берут. В дроби 3/7 числитель равен 3, значит, речь идёт о трёх частях. Это число помогает отличить одну долю целого от нескольких таких долей.

Знаменатель — число под чертой дроби. Он показывает, на сколько равных частей разделена единица. Например, знаменатель 7 в дроби 3/7 означает, что целое поделили на семь одинаковых частей. Без этого числа нельзя понять, какого размера одна часть.

Как это устроено

Дробь возникает, когда единицу делят на равные части и берут несколько из них. Например, если пирог разделить поровну на четыре части, одна часть будет четвертью, то есть 1/4. Если взять три такие части, получится 3/4. Части должны быть равными, иначе их нельзя одинаково обозначить одной дробью: каждая из них будет иметь другой размер.

Чтобы изобразить дробь на числовом луче, сначала находят единичный отрезок — расстояние от 0 до 1. Его делят на столько равных отрезков, сколько указано в знаменателе, потому что знаменатель задаёт размер одной доли. Затем от нуля отсчитывают число долей, указанное в числителе. Например, для 3/5 нужно разделить отрезок от 0 до 1 на пять шагов и отметить третий шаг.

Сравнить дробь с единицей можно по числителю и знаменателю. Если числитель меньше знаменателя, взяли меньше частей, чем нужно для целой единицы, поэтому дробь меньше 1 и называется правильной. Если числитель равен знаменателю, взяли все части и получили единицу. Если числитель больше знаменателя, частей взяли больше, чем составляет одно целое, поэтому дробь больше 1 и является неправильной.

Натуральное число можно записать дробью со знаменателем 1: например, 6 = 6/1. Это равенство сохраняет значение числа, потому что деление на 1 не меняет число: 6 : 1 = 6. Такая запись показывает, что дроби и натуральные числа связаны между собой и могут обозначать одно и то же количество. При этом знаменатель 1 означает, что единица не разделена на более мелкие части.

Неправильную дробь можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби. Для этого числитель делят на знаменатель с остатком: частное показывает, сколько целых единиц содержится в дроби, а остаток — сколько долей осталось. Например, в 17/5 помещаются три полные группы по пять пятых и ещё две пятых. Поэтому 17/5 = 3 + 2/5.

Виды обыкновенных дробей

Сначала сравни числитель и знаменатель: так можно определить, правильная дробь или неправильная. Если числитель делится на знаменатель без остатка, дробь равна натуральному числу. Например, 8/4 равно 2, потому что 8 : 4 = 2.

Разбор задач

Задача. Записать дробью три из семи равных частей единицы. Нужно определить, сколько всего равных частей составляют целое и сколько из них рассматривают. Первое число станет знаменателем, второе — числителем. Равенство частей позволяет выразить их одной дробью.

1. Всего частей семь, значит, знаменатель равен 7. Он показывает, на сколько равных долей поделили единицу.
2. Взяли три части, поэтому числитель равен 3. Он показывает число рассматриваемых долей.
3. Записываем числитель над чертой, знаменатель под ней: 3/7. Числитель меньше знаменателя, значит, взяли меньше целого.

Ответ: 3/7.

Задача. Определить, какая из дробей 3/5 и 4/5 больше, и объяснить ответ. Знаменатели у дробей одинаковые, поэтому доли имеют один и тот же размер: в каждой дроби единицу разделили на пять равных частей. Значит, достаточно сравнить, сколько таких долей взяли.

1. У первой дроби числитель равен 3, у второй — 4. Это количество частей, взятых от одной и той же единицы.
2. Сравниваем числа: 4 больше 3. Следовательно, четыре пятых больше трёх пятых.
3. Записываем результат: 4/5 > 3/5. При одинаковых знаменателях больше дробь с большим числителем.

Ответ: 4/5 больше 3/5.

Задача. Представить дробь 17/5 в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Поскольку числитель больше знаменателя, в дроби есть как минимум одна целая единица. Чтобы узнать, сколько целых единиц и сколько частей останется, выполним деление с остатком.

1. Делим 17 на 5: получаем 3 и остаток 2, потому что 5 · 3 = 15, а 17 − 15 = 2.
2. Частное 3 записываем как целую часть. Остаток 2 становится числителем дробной части, а знаменатель 5 сохраняется.
3. Получаем 17/5 = 3 + 2/5. Дробь 2/5 правильная, так как её числитель меньше знаменателя.

Ответ: 17/5 = 3 + 2/5.

Типичные ошибки

• Числитель и знаменатель иногда меняют местами, путая общее число частей и число взятых частей. Это происходит, если не обратить внимание на то, что знаменатель записывают под чертой, а числитель — над ней. Перед записью спроси себя: сколько частей было всего и сколько из них взяли.

• Некоторые считают, что любая дробь меньше единицы, но неправильная дробь может быть больше 1 или равна натуральному числу. Такую ошибку допускают, запомнив только примеры вроде 1/2 и 3/5. Проверь отношение числителя к знаменателю: если он не меньше знаменателя, дробь не меньше единицы.

• При сравнении дробей иногда смотрят только на числители и забывают про знаменатели. Но дроби с разными знаменателями состоят из частей разного размера, поэтому одного сравнения числителей недостаточно. Сначала проверь знаменатели: правило сравнения только по числителю сразу применяют, когда знаменатели одинаковы.

• Запись дроби со знаменателем 0 недопустима. Ошибка возникает, если забыть, что дробная черта означает деление, а деление на ноль не определено. Проверяя дробь, сначала убедись, что её знаменатель не равен нулю.

Связь с другими темами

Перед изучением дробей пригодятся знания о натуральном ряде: они помогают считать части и работать с числителем и знаменателем. Деление с остатком нужно, чтобы выделить целую часть неправильной дроби, а смысл деления на равные части объясняет появление дробей. Позже дроби помогут сравнивать величины, например части метра или килограмма. Они также понадобятся при изучении действий с дробями.

Что запомнить

• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили единицу.
• Числитель показывает, сколько таких частей взяли.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Если числитель меньше знаменателя, дробь правильная и меньше 1.
• Если числитель больше или равен знаменателю, дробь неправильная.
• Натуральное число можно записать дробью со знаменателем 1.