1. Натуральные числа и дроби

Определения и обозначения

Натуральные числа — это числа, которые используют при счёте предметов: 1, 2, 3, 4 и так далее. Они образуют натуральный ряд, начинающийся с 1. Такие числа нужны, чтобы узнать количество предметов и порядок объектов.

Цифры — это знаки, которыми записывают числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Число может состоять из одной цифры или из нескольких, например 7 и 583. Значит, цифра — знак записи, а число — то, что этой записью обозначают.

Обыкновенная дробь имеет вид a/b и обозначает часть целого или результат деления числа a на число b. Например, 3/4 — это три из четырёх равных частей. Дроби нужны, когда целого предмета или количества недостаточно для точного описания результата.

Числитель стоит над дробной чертой, а знаменатель — под ней. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. В дроби 3/4 число 3 — числитель, а число 4 — знаменатель.

Как это устроено

Когда нужно узнать, сколько предметов перед нами, мы пересчитываем их и каждому ставим в соответствие число. Так возникла потребность в натуральных числах: они обозначают количество предметов и порядок при счёте. Если продолжать счёт, получается натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5 и так далее, где каждое следующее число на единицу больше предыдущего.

Для записи любых чисел достаточно десяти цифр, потому что их место помогает передать разное значение. В числе 222 одна и та же цифра обозначает 2 единицы, 2 десятка и 2 сотни: справа налево разряды увеличиваются в десять раз. Поэтому в записи 704 020 нули сохраняют пустые разряды, а цифра 7 означает семьсот тысяч, а не просто семь.

Натуральные числа можно отмечать точками на координатном луче. Из начала луча откладывают равные отрезки и подписывают их 1, 2, 3 и так далее. Чем правее расположена точка, тем больше соответствующее число, поэтому положение точек сразу помогает сравнивать натуральные числа.

Если целое разделить на равные части, одна такая часть обозначается дробью с числителем 1, а несколько частей — дробью с соответствующим числителем. В записи 3/8 число 8 показывает общее количество равных частей, а 3 — сколько из них взяли. Натуральное число n можно записать как n/1, поскольку целое число — это одна часть, равная всему целому; одновременно дробь a/b связана с делением a : b.

Натуральные числа, цифры и дроби

Сначала найдите в записи нужное понятие, а затем сверьте его смысл с таблицей. При работе с дробью отдельно определите числитель и знаменатель, чтобы не поменять их местами. Для многозначного числа проверьте не только цифры, но и их разряды.

Разбор задач

Запись многозначного числа

Условие: нужно записать цифрами число: семьсот четыре тысячи двадцать. Слова называют разряды, поэтому пропускать нулевые места нельзя.

1. Разделим число на классы: 704 тысячи и 020 единиц.
2. В классе тысяч запишем 704: это семь сотен тысяч, ноль десятков тысяч и четыре тысячи.
3. В классе единиц запишем 020: два десятка и ноль единиц.
4. Соединим классы и получим запись 704 020.

Ответ: 704 020. Нули показывают, что десятков тысяч и единиц в числе нет.

Часть прямоугольника

Условие: прямоугольник разделили на 8 равных частей и закрасили 3. Требуется узнать, какую часть прямоугольника составляет закрашенная область.

1. Общее число равных частей записываем в знаменатель: 8.
2. Количество закрашенных частей записываем в числитель: 3.
3. Составляем дробь 3/8 и проверяем смысл: из восьми частей взяты три.

Ответ: закрашенная область составляет 3/8 прямоугольника.

Сравнение дробей

Условие: сравнить 5/6 и 7/9. Знаменатели разные, поэтому сравнивать только числа 6 и 9 нельзя.

1. Найдём общий знаменатель: 6 и 9 входят в 18.
2. Преобразуем дроби: 5/6 = 15/18, а 7/9 = 14/18.
3. При одинаковых знаменателях сравниваем числители: 15 больше 14.
4. Следовательно, точка 5/6 на координатном луче расположена правее точки 7/9.

Ответ: 5/6 > 7/9.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что 583 — это цифра. Ошибка появляется из-за смешения знака и записи числа: цифр в этой записи три, а само число одно. Проверьте себя: если запись можно разделить на отдельные знаки 5, 8 и 3, перед вами число, составленное из цифр.

При определении разряда цифры иногда не считают позиции справа налево. Например, в числе 4 608 цифра 6 обозначает сотни, а не десятки. Чтобы проверить ответ, подпишите над цифрами единицы, десятки, сотни и тысячи.

Числитель и знаменатель могут поменять местами. В дроби 3/8 число 3 означает взятые части, а 8 — все равные части целого. Полезно пересказать дробь словами: «взяли три части из восьми».

Больший знаменатель не делает дробь автоматически большей. Например, 1/3 больше 1/5, потому что треть целого крупнее пятой части. Сравнивайте дроби по рисунку, приводите их к общему знаменателю или учитывайте размер одной части.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь считать, читать и записывать многозначные числа. Также пригодятся знания о разрядах и сравнении чисел, потому что они помогают понимать запись и положение чисел.

Натуральные числа и дроби понадобятся при выполнении действий с дробями и десятичными дробями. Они также используются при изучении процентов, отношений и решении текстовых задач.

Координатный луч связывает числа с последующим изучением координат и числовых выражений. Положение точки на луче позволяет наглядно сравнивать натуральные числа и дроби.

Что запомнить

• Натуральные числа используют для счёта и нумерации.
• Цифры — это знаки для записи чисел.
• Значение цифры в многозначном числе зависит от её разряда.
• Дробь показывает часть целого или результат деления.
• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое.
• Числитель показывает, сколько таких частей взяли.
• Любое натуральное число можно записать в виде дроби со знаменателем 1.