2. Основное свойство дроби. Преобразование дробей

Определения и обозначения

Равные дроби — это дроби, обозначающие одну и ту же величину, хотя их числители и знаменатели могут быть разными. Например, 1/2 и 2/4 показывают одну половину. Понимание равенства дробей помогает заменять запись на более удобную.

Основное свойство дроби говорит: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, получится равная дробь. Ненулевое число нельзя заменять нулём, потому что на ноль делить нельзя. Это свойство объясняет, почему дроби можно преобразовывать без изменения их значения.

Расширение дроби — умножение её числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Например, при умножении 2/3 на 4/4 получается 8/12. Расширение нужно, чтобы получить заданный или общий знаменатель.

Сокращение дроби — деление её числителя и знаменателя на общий делитель, отличный от нуля. Так из 18/30 после деления на 6 получают 3/5. Сокращение делает запись короче и помогает получить несократимую дробь.

Как это устроено

Равные дроби появляются потому, что одну и ту же часть целого можно разделить на разное число равных частей. Половина пиццы — это также две четверти: во втором случае каждый кусок просто разделили ещё пополам. Поэтому записи 1/2 и 2/4 различаются, но обозначают одну величину.

При умножении числителя и знаменателя на одно число значение дроби не меняется. Например, 2/3 · 4/4 = 8/12, а 4/4 — это одно целое. Значит, дробь умножили на 1, поэтому её величина осталась прежней.

При делении числителя и знаменателя на общий ненулевой делитель значение также сохраняется. Если 8/12 разделить на 4 и числитель, и знаменатель, получится 2/3. Это обратное действие по отношению к расширению: сначала дробь увеличили в записи, а затем вернули к прежнему виду.

Чтобы сократить дробь, сначала ищут число, на которое без остатка делятся оба её числа. После деления проверяют результат: у него может остаться другой общий делитель. Повторяя сокращение, доходят до несократимой дроби, например 18/30 → 9/15 → 3/5.

Расширение и сокращение нужны не для изменения дроби, а для удобной работы с ней. Расширением получают общий знаменатель перед сравнением или вычислениями. Сокращением убирают лишние множители и записывают ответ проще.

Преобразования дробей

Сначала определите, какая цель стоит перед вами: получить нужный знаменатель или упростить дробь. Затем выберите одно и то же число для числителя и знаменателя и проверьте делимость. После преобразования дробь должна обозначать ту же величину.

Разбор задач

1. Дробь со знаменателем 12

Условие: Запиши дробь 2/3 в виде дроби со знаменателем 12. Нужно изменить знаменатель, но сохранить значение дроби.

1. Определяем, во сколько раз знаменатель 3 нужно увеличить, чтобы получить 12: 12 : 3 = 4.
2. Умножаем числитель на тот же множитель: 2 · 4 = 8.
3. Записываем результат: 2/3 = 8/12.

Ответ: 8/12.

2. Сокращение дроби 18/30

Условие: Сократи дробь 18/30. Ищем общий делитель числителя и знаменателя, чтобы разделить оба числа одинаково.

1. Общий делитель чисел 18 и 30 — 6.
2. Делим числитель и знаменатель на 6: 18 : 6 = 3, 30 : 6 = 5.
3. Проверяем дробь 3/5: числа 3 и 5 не имеют общего делителя, кроме 1.

Ответ: 18/30 = 3/5.

3. Одинаковые знаменатели

Условие: Преобразуй дроби 3/4 и 5/6 в равные им дроби с одинаковыми знаменателями. Общим знаменателем удобно взять 12, потому что 12 делится и на 4, и на 6.

1. Для 3/4 находим множитель: 12 : 4 = 3, поэтому 3/4 = 9/12.
2. Для 5/6 находим множитель: 12 : 6 = 2, поэтому 5/6 = 10/12.
3. Проверяем: обе дроби имеют знаменатель 12, а каждое преобразование выполнено умножением числителя и знаменателя на одно число.

Ответ: 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12.

Типичные ошибки

Иногда умножают или делят только числитель либо только знаменатель. Тогда дробь умножается или делится на число, а её значение меняется. Проверьте себя: множитель или делитель должен стоять у обоих чисел.

При сокращении нельзя делить числитель и знаменатель на разные числа. Такая запись уже не опирается на основное свойство дроби, поэтому равенство может нарушиться. Убедитесь, что используется один общий делитель.

Нельзя сокращать дробь на число, которое делит только одно из двух чисел или не делит их без остатка. Перед действием выполните обе проверки деления. Если хотя бы одна не выполняется, выбранное число не подходит.

После одного сокращения дробь не всегда становится несократимой. Например, в 18/30 сначала можно разделить числа на 2, но затем дробь 9/15 ещё сокращается на 3. Проверьте получившиеся числитель и знаменатель на общие делители.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать, что такое числитель и знаменатель, а также уметь находить делители и кратные натуральных чисел. Эти знания помогают выбрать множитель для расширения и общий делитель для сокращения. Без них трудно проверить правильность преобразования.

Равные дроби и расширение нужны при сравнении дробей и приведении их к общему знаменателю. Сокращение помогает упрощать вычисления с дробями и записывать ответ в удобном виде. Поэтому преобразования встречаются во многих следующих действиях с дробями.

Что запомнить

• Равные дроби имеют одинаковое значение.
• Числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же ненулевое число.
• Числитель и знаменатель можно разделить на их общий ненулевой делитель.
• При расширении и сокращении значение дроби не меняется.
• Для сокращения выбирают число, которое делит и числитель, и знаменатель.
• Дробь несократима, если её числитель и знаменатель не имеют общего делителя, кроме 1.