8.5. Сравнение дробей

Определения и обозначения

Сравнение дробей — это определение того, какая из двух дробей больше, меньше или равна другой. Для записи используют знаки > («больше»), < («меньше») и = («равно»). Например, ⅜ < ⅝ означает, что три восьмых меньше пяти восьмых. Сравнение помогает понять, какая часть величины больше, и правильно расположить дроби по порядку.

Равные дроби — это дроби с разными числителями и знаменателями, которые обозначают одно и то же число. Например, ½ и 2/4 равны: обе дроби обозначают половину целого. Это свойство позволяет заменять дробь другой, более удобной для сравнения, не меняя её значения.

Общий знаменатель — число, которое становится знаменателем нескольких дробей после их преобразования. Например, для дробей ⅔ и ⅗ общим знаменателем можно сделать 15. Тогда обе дроби можно записать в пятнадцатых долях и сравнить их части. Общий знаменатель нужен, когда знаменатели исходных дробей различаются.

Приведение дробей к общему знаменателю — это замена дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Например, ⅔ = 10/15, а ⅗ = 9/15. Знаменатели стали одинаковыми, а значение каждой дроби сохранилось. Такой способ помогает сравнивать дроби, у которых различаются и числители, и знаменатели.

Как это устроено

На числовом луче дробям соответствуют точки: чем правее расположена точка, тем больше число. Поэтому дробь, которой соответствует точка правее, больше дроби, отмеченной левее. Например, точка ¾ находится правее точки ½, значит, ¾ > ½. Числовой луч показывает сравнение наглядно: дроби можно представить как числа, а не только как записи с числителями и знаменателями.

Если знаменатели дробей одинаковы, целое разделено на одинаковое число равных частей. Значит, каждая отдельная часть имеет один и тот же размер в обеих дробях. Отличается только количество взятых частей, которое показывает числитель. Поэтому при одинаковых знаменателях больше дробь с большим числителем: например, 5/8 > 3/8.

Если числители одинаковы, в обеих дробях взято одинаковое количество частей. Но размер одной части зависит от знаменателя: чем на большее число частей разделили целое, тем меньше каждая часть. Поэтому из дробей ⅓ и ⅕ больше ⅓: одна третья часть крупнее одной пятой, а одинаковое число третьих больше такого же числа пятых. Так работает правило: при одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем.

Когда различаются и числители, и знаменатели, сравнивать только верхние или только нижние числа нельзя: их значения зависят друг от друга. Вместо этого дроби заменяют равными дробями с общим знаменателем. Тогда части, на которые условно разделено целое, становятся одинаковыми, и можно сравнить, сколько таких частей взято. Например, ⅔ и ⅗ можно записать в пятнадцатых долях.

После приведения к общему знаменателю знаменатели одинаковы, поэтому остаётся сравнить числители. Для примера: ⅔ = 10/15, а ⅗ = 9/15; так как 10 > 9, то ⅔ > ⅗. Общий знаменатель удобно выбирать так, чтобы числа для преобразования были небольшими. Подойдёт любое общее кратное знаменателей, но более удобный выбор часто делает вычисления проще.

Как сравнивать дроби

Таблица подсказывает, какой способ выбрать в зависимости от того, что совпадает у дробей. Начните с проверки знаменателей, затем — числителей; если не совпадают ни те ни другие, используйте общий знаменатель. После преобразования обязательно сравните именно числители при одинаковых знаменателях.

Если дроби обозначают одно и то же число, ставьте знак равенства, даже если записи выглядят по-разному. Например, ½ = 2/4.

Разбор задач

Сравните 3/8 и 5/8

У дробей одинаковые знаменатели, значит, целое поделено на равное число частей, а каждая часть имеет одинаковый размер. Поэтому достаточно узнать, в какой дроби взято больше таких частей. Сравниваем числители 3 и 5: пять больше трёх. Значит, больше дробь 5/8.

1. Проверяем знаменатели: 8 = 8.
2. Сравниваем числители: 3 < 5.
3. Ставим знак между дробями: 3/8 < 5/8.

Ответ: 3/8 < 5/8.

Сравните 2/3 и 3/5

Здесь не совпадают ни числители, ни знаменатели, поэтому нельзя решить, какая дробь больше, просто сравнив 2 и 3. Приведём обе дроби к знаменателю 15: это число делится и на 3, и на 5. Сохраняем значения дробей: умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число.

1. Для 2/3 знаменатель 3 умножаем на 5, чтобы получить 15; числитель тоже умножаем на 5: 2/3 = 10/15.
2. Для 3/5 знаменатель 5 умножаем на 3; числитель тоже умножаем на 3: 3/5 = 9/15.
3. Сравниваем числители: 10 > 9, поэтому 10/15 > 9/15.

Ответ: 2/3 > 3/5.

Расположите 5/6, 7/10 и 3/4 в порядке возрастания

Порядок возрастания означает, что дроби идут от меньшей к большей. Чтобы сравнить все три дроби, представим каждую в долях с одинаковым знаменателем. Удобно взять 60: оно делится на 6, 10 и 4, значит, каждую дробь можно превратить в равную дробь со знаменателем 60. После этого сравним числители.

1. Для 5/6 умножаем числитель и знаменатель на 10: 5/6 = 50/60.
2. Для 7/10 умножаем числитель и знаменатель на 6: 7/10 = 42/60.
3. Для 3/4 умножаем числитель и знаменатель на 15: 3/4 = 45/60.
4. Располагаем числители от меньшего к большему: 42 < 45 < 50. Значит, 42/60 < 45/60 < 50/60.

Возвращаемся к исходным дробям. Ответ: 7/10 < 3/4 < 5/6.

Типичные ошибки

При одинаковых знаменателях иногда сравнивают сами знаменатели, хотя они равны и показывают только число частей в целом. Такая ошибка возникает, если забыть смысл числителя. Проверьте себя: при одинаковых знаменателях выясните, в какой дроби взято больше одинаковых частей, и сравните числители.

При одинаковых числителях можно по ошибке решить, что больше дробь с большим знаменателем. Кажется, что большее число означает и большую дробь, но знаменатель показывает, на сколько частей разделено целое: чем частей больше, тем они мельче. Для проверки возьмите одинаковое количество частей, например сравните ⅓ и ⅕, и вспомните, какая часть целого крупнее.

При приведении к общему знаменателю иногда умножают только знаменатель. Тогда значение дроби меняется, потому что равная дробь получается лишь при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число. После преобразования проверьте оба действия: во сколько раз изменился знаменатель, во столько же раз должен измениться числитель.

Ещё одна ошибка — сравнивать числители дробей с разными знаменателями до преобразования. Больший числитель не обязательно означает большую дробь: размеры частей могут быть разными. Не делайте вывод только по верхним числам; сначала приведите дроби к общему знаменателю или воспользуйтесь подходящим правилом для одинаковых числителей.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать дроби, нужно понимать, что показывает числитель, а что — знаменатель. Также пригодится умение получать равные дроби: умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. Эти знания помогают объяснить, почему при сравнении частей целого можно менять запись дроби, не меняя её значения.

Сравнение дробей пригодится, когда нужно расположить дробные числа по порядку или определить, какая часть величины больше. Например, при решении задачи можно сравнить доли пути, оставшегося торта или выполненной работы. Общий знаменатель позволяет привести такие доли к одинаковым частям и сделать вывод.

Что запомнить

• При одинаковых знаменателях больше дробь с большим числителем.
• При одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем.
• Дроби с разными знаменателями можно сравнить, приведя их к общему знаменателю.
• При приведении к общему знаменателю числитель и знаменатель умножают на одно и то же число.
• После приведения дробей к общему знаменателю сравнивают числители.