"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Обыкновенные дроби показывают части целого, поэтому при их сложении и вычитании нужно учитывать размер этих частей. Если знаменатели одинаковые, достаточно выполнить действие с числителями. При разных знаменателях дроби сначала заменяют равными дробями с общим знаменателем. Результат затем сокращают, а неправильную дробь при необходимости превращают в смешанное число.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обыкновенная дробь — запись части целого с помощью числителя и знаменателя. Например, в дроби 3/5 число 3 показывает взятые части, а 5 — общее число равных частей. Понимание смысла дроби помогает правильно выполнять действия с её частями.
Числитель — число над чертой дроби, показывающее, сколько частей взято. В дроби 3/5 взяты три части из пяти равных. По числителю мы узнаём, сколько долей нужно сложить или вычесть.
Знаменатель — число под чертой дроби, показывающее, на сколько равных частей разделено целое. Чем он отличается у двух дробей, тем чаще всего отличаются размеры их долей. Поэтому знаменатели помогают понять, можно ли сразу выполнять действие.
Общий знаменатель — одинаковый знаменатель, к которому приводят дроби перед сложением или вычитанием. Он должен делиться без остатка на исходные знаменатели. После такого преобразования дроби изображают доли одного размера, и с ними можно работать как с обычным количеством частей.
Если знаменатели одинаковые, дроби обозначают доли одинакового размера. Например, 2/9 и 4/9 состоят из девятых долей, поэтому вместе дают шесть таких долей: 2/9 + 4/9 = 6/9. Знаменатель не меняется, потому что размер доли остался тем же, изменилось только их количество.
Чтобы заменить дробь равной ей дробью, числитель и знаменатель умножают на одно и то же число. Например, 2/3 = 8/12, потому что обе части дроби умножены на 4. Такое преобразование не меняет величину дроби, но позволяет подобрать одинаковые знаменатели.
При разных знаменателях сначала находят общий знаменатель, обычно наименьшее общее кратное исходных знаменателей. Затем для каждой дроби определяют дополнительный множитель и умножают на него числитель и знаменатель. После этого доли становятся одинаковыми по размеру, поэтому действие выполняют только с числителями.
Полученный результат записывают одной дробью и проверяют его вид. Если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, дробь сокращают. Если числитель больше знаменателя, находят, сколько целых помещается в дроби, а остаток записывают числителем над прежним знаменателем.
В смешанных числах отдельно работают с целыми и дробными частями. При сложении складывают целые части и дробные части, а затем выделяют целую единицу, если дробная сумма стала неправильной. При вычитании, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, занимают одну целую: уменьшают целую часть на 1 и превращают эту единицу в дробь со знаменателем дробной части.
Таблица показывает общий порядок действий для разных случаев. Перед вычислением определите, одинаковы ли знаменатели и есть ли в ответе сокращение или неправильная дробь. После решения полезно проверить, соответствует ли ответ исходным числам по величине.
| Случай | Порядок действий | Пример | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Дроби с одинаковыми знаменателями | Сложить или вычесть числители, знаменатель сохранить. | 3/11 + 5/11 = 8/11 | Знаменатель не изменился. |
| Дроби с разными знаменателями | Найти общий знаменатель, привести дроби к нему, выполнить действие с числителями. | 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12 | Обе новые дроби равны исходным. |
| Сокращение результата | Разделить числитель и знаменатель на общий делитель. | 6/8 = 3/4 | Делитель подходит обоим числам. |
| Неправильная дробь в ответе | Разделить числитель на знаменатель и выделить целую часть. | 9/4 = 2 1/4 | Остаток меньше знаменателя. |
| Смешанные числа без заёма | Отдельно вычесть целые и дробные части. | 5 7/10 − 2 3/10 = 3 4/10 | Дробная часть уменьшаемого не меньше вычитаемой. |
| Смешанные числа с заёмом | Занять одну целую, превратить её в дробь и выполнить вычитание. | 4 1/6 − 2 5/9 = 1 11/18 | Целая часть уменьшена на единицу. |
У всех дробей один знаменатель — 11, значит, каждая дробь показывает одиннадцатые доли. Поэтому не нужно искать общий знаменатель: меняется только количество таких долей. Действия с числителями выполняем слева направо.
Ответ: 6/11. Дробь не сокращается, потому что 6 и 11 не имеют общего делителя, кроме 1.
Знаменатели 3 и 8 разные, поэтому сначала приводим дроби к общему знаменателю. Наименьшее число, которое делится и на 3, и на 8, — 24. Затем приводим каждую дробь, не меняя её значения.
Ответ: 1 7/24. Проверка показывает, что сумма больше 1, поскольку 2/3 и 5/8 вместе немного превышают целое.
Целые части можно вычесть отдельно, но дробные части сначала приводим к общему знаменателю 18. После приведения получаем 4 3/18 − 2 10/18, и дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Поэтому нужно занять одну целую.
Ответ: 1 11/18. Заём понадобился потому, что 3/18 меньше 10/18; после добавления одной целой дробная часть стала достаточной для вычитания.
Складывать или вычитать знаменатели нельзя: запись 2/7 + 3/7 = 5/14 неверна. Такая ошибка появляется, когда правило для числителей переносят на всю дробь. Проверьте себя: при одинаковых знаменателях размер долей не меняется, значит, знаменатель должен остаться прежним.
Иногда к общему знаменателю приводят только одну дробь или умножают её числитель на другое число. Тогда новая дробь уже не равна исходной. Проверяйте, что числитель и знаменатель каждой дроби умножены на один и тот же дополнительный множитель.
Полученную дробь могут забыть сократить или неправильно превратить в смешанное число. Причина обычно в том, что проверяют только выполненное действие, а не вид ответа. Найдите общий делитель числителя и знаменателя, а при выделении целой части убедитесь, что остаток меньше знаменателя.
При вычитании смешанных чисел иногда пытаются вычесть меньшую дробную часть из большей, не меняя целую часть. Это неверно, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Выполните заём одной целой и проверьте, что целая часть уменьшилась на 1, а к дробной добавился целый знаменатель.
До этой темы нужно знать смысл дроби, основное свойство дроби, сокращение дробей и нахождение общего кратного. Эти знания позволяют приводить дроби к одному знаменателю без изменения их значения.
Правила понадобятся при сравнении дробей и решении текстовых задач, где складывают или находят разность частей. Они также помогают понять действия с десятичными дробями, записанными в виде обыкновенных.
Дальше сложение и вычитание дробей будут использоваться при действиях с рациональными числами и выражениями. Умение соблюдать порядок приведения к общему знаменателю станет основой для более сложных вычислений.
Почему знаменатели нельзя складывать?
Знаменатель показывает размер долей, а не их количество. Складывать можно только одинаковые части, поэтому при одинаковых знаменателях складывают числители, а знаменатель сохраняют.
Как выбрать общий знаменатель?
Обычно выбирают наименьшее общее кратное знаменателей. Оно делится на каждый знаменатель без остатка, поэтому обе дроби можно привести к нему.
Можно ли сразу складывать дроби с разными знаменателями?
Нет, потому что такие дроби состоят из частей разного размера. Сначала их приводят к общему знаменателю, а потом складывают или вычитают числители.
Когда нужно сокращать результат?
Результат сокращают, если его числитель и знаменатель имеют общий делитель. Лучше сделать это после вычисления, чтобы записать ответ в наиболее простом виде.
Что делать, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого?
Нужно выполнить заём из целой части: уменьшить её на 1 и добавить к дробной части одну целую, записанную в виде дроби. После этого дробная часть уменьшаемого станет достаточно большой для вычитания.
1. Сложение и вычитание дробей
