§ 2. Арифметика дробей

Определения и обозначения

Обыкновенная дробь — запись вида a/b, где b ≠ 0. Число сверху, a, называется числителем и показывает, сколько долей взяли; число снизу, b, — знаменателем: на сколько равных частей разделили целое. Например, 3/8 — это три доли из восьми равных. Такая запись помогает описывать части предметов и выполнять вычисления с ними.

Правильная дробь меньше единицы: её числитель меньше знаменателя, например 2/5. Неправильная дробь равна единице или больше неё: числитель не меньше знаменателя, например 7/4. Её можно представить как сумму целого числа и правильной дроби: 7/4 = 1 3/4. Такое представление бывает удобным, когда нужно увидеть целые части величины.

Смешанное число — сумма целой части и правильной дроби; его записывают, например, как 2 3/5. Чтобы перевести его в неправильную дробь, умножают целую часть на знаменатель и прибавляют числитель: 2 3/5 = (2 · 5 + 3)/5 = 13/5. Знаменатель остаётся прежним, потому что размер долей не меняется. Перевод помогает выполнять действия с целыми и дробными частями по единым правилам.

Обратные дроби — такие дроби, произведение которых равно 1: например, 3/5 и 5/3. Чтобы получить дробь, обратную дроби a/b, меняют местами числитель и знаменатель: получается b/a. Это можно сделать, если исходный числитель не равен нулю. Обратная дробь нужна, чтобы деление заменить умножением.

Как это устроено

Равные дроби обозначают одну и ту же величину, хотя записаны по-разному: 1/2 = 2/4. Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, количество долей изменится вместе с их размером, поэтому целая величина останется прежней. Деление обоих чисел на общий делитель тоже сохраняет значение. Это позволяет получить удобную запись или подготовить дроби к сложению и вычитанию.

При сложении и вычитании доли должны быть одинакового размера. Поэтому дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю — числу, которое делится на каждый из исходных знаменателей. Затем считают числители, а знаменатель оставляют прежним: он по-прежнему показывает размер доли. Например, восьмые и четверти нельзя сразу сложить как одинаковые части, но можно представить четверти восьмыми.

При умножении дробей перемножают числители между собой и знаменатели между собой. Смысл действия можно увидеть на примере нахождения части от части: если взять 2/3 от 3/4, доля от целого станет меньше, и результат равен 6/12. Перед вычислением можно сократить числитель одной дроби со знаменателем другой, разделив их на общий делитель. Так числа становятся меньше, а значение произведения не меняется.

Деление на дробь заменяют умножением на обратную ей дробь. Например, деление на 2/3 превращается в умножение на 3/2: умножение на число, обратное делителю, отменяет действие деления. Делитель не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Поэтому обратную дробь для делителя можно использовать только тогда, когда сам делитель отличен от нуля.

Смешанные числа перед сложением, вычитанием, умножением или делением удобно перевести в неправильные дроби. Так целая и дробная части становятся одной дробью, и можно применить обычное правило действия. После вычислений неправильную дробь при необходимости преобразуют в смешанное число. Например, результат больше единицы часто проще прочитать, если выделить в нём целую часть.

Правила действий с обыкновенными дробями

Сначала определи действие и проверь, равны ли знаменатели: это особенно важно при сложении и вычитании. После вычисления посмотри, можно ли сократить результат или выделить целую часть. При делении проверь, что делитель не равен нулю.

Разбор задач

Задача. Вычислите 3/8 + 2/8 и запишите результат в сокращённом виде. Знаменатели уже равны, значит, доли имеют одинаковый размер и их можно складывать напрямую. После сложения проверим, есть ли у числителя и знаменателя общий делитель больше единицы.

1. Сохраняем знаменатель 8: он показывает размер каждой доли.
2. Складываем числители: 3 + 2 = 5, получаем 5/8.
3. Числа 5 и 8 не имеют общего делителя больше 1, поэтому дробь не сокращается.

Ответ: 5/8.

Задача. Вычислите 5/6 − 1/4. Здесь знаменатели разные, поэтому сначала нужно выразить обе дроби долями одинакового размера. Подойдёт знаменатель 12: это число делится и на 6, и на 4.

1. Преобразуем 5/6: умножаем числитель и знаменатель на 2, получаем 10/12.
2. Преобразуем 1/4: умножаем числитель и знаменатель на 3, получаем 3/12.
3. Вычитаем числители: 10 − 3 = 7, знаменатель 12 оставляем.

Ответ: 7/12. Полученная дробь сокращению не поддаётся.

Задача. Вычислите 1 2/3 : 5/6 и, если возможно, представьте ответ смешанным числом. Чтобы разделить смешанное число, сначала заменим его неправильной дробью. Затем разделим на 5/6, то есть умножим на дробь, обратную делителю.

1. Переводим смешанное число: 1 2/3 = (1 · 3 + 2)/3 = 5/3.
2. Меняем деление на умножение и переворачиваем именно делитель: 5/3 : 5/6 = 5/3 · 6/5.
3. Сокращаем 5 в числителе и знаменателе, затем вычисляем: 6/3 = 2.

Ответ: 2. Это целое число, поэтому записывать его смешанным числом не требуется.

Типичные ошибки

При сложении дробей с разными знаменателями иногда складывают и числители, и знаменатели, например считают, что 1/2 + 1/3 = 2/5. Так происходит, если перенести на дроби правило сложения целых чисел, не учитывая размер долей. Сначала приведи дроби к общему знаменателю, а затем сложи только числители. Для проверки можно представить обе дроби долями одного размера.

При умножении дробей могут складывать числители или знаменатели вместо того, чтобы перемножить их. Ошибка возникает из-за смешения правил сложения и умножения. Запиши отдельно числитель произведения и отдельно знаменатель: a/b · c/d = (a · c)/(b · d). Проверь, что в вычислениях нигде не появилось сложение вместо умножения.

При делении иногда переворачивают делимое, то есть первую дробь, хотя обратной должна стать вторая дробь — делитель. Это путают, потому что обе дроби участвуют в одном действии. Запиши деление как умножение и поменяй местами числитель и знаменатель только у делителя. Проверка: если деление заменено умножением, обратная дробь должна стоять на месте второго числа.

При переводе смешанного числа в неправильную дробь иногда забывают прибавить прежний числитель. Например, для 2 3/5 числитель не просто 2 · 5, а 2 · 5 + 3 = 13. Ошибка появляется, когда учитывают только целые части, но теряют уже имеющиеся доли. Проверь перевод обратным действием: 13/5 — это 2 целых и 3/5.

Связь с другими темами

Для работы с дробями пригодятся умение находить долю величины, сокращать дроби и приводить их к общему знаменателю. Эти навыки помогают не только выполнять действия, но и проверять, одинаково ли записаны части целого. Дроби встречаются в задачах, где нужно найти несколько частей величины или узнать, какую часть составляет одно количество от другого.

Умение действовать с дробями пригодится и при вычислениях с десятичными дробями: обе записи описывают части целого, хотя выглядят по-разному. Позже дроби помогут разбираться в отношениях и пропорциях, где сравнивают величины и их части. Поэтому полезно понимать не только порядок действий, но и смысл числителя и знаменателя.

Что запомнить

• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Равные дроби получают умножением или делением числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число.
• Складывать и вычитать дроби можно после приведения к общему знаменателю.
• При умножении дробей перемножают числители и знаменатели.
• Чтобы разделить на дробь, умножают на дробь, обратную делителю.
• Смешанное число переводят в неправильную дробь так: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель.
• Ответ по возможности сокращают и записывают в удобном виде.