2. Сложение и вычитание смешанных чисел

Определения и обозначения

Смешанное число — это число, в котором есть целая часть и дробная часть, например 4 2/7. Его записывают так: сначала целое число, а справа от него — правильную дробь; знак сложения между частями не пишут. Смешанное число можно представить неправильной дробью: умножить целую часть на знаменатель, прибавить числитель и записать сумму над тем же знаменателем. Например, 4 2/7 = (4 · 7 + 2)/7 = 30/7.

Целая часть смешанного числа — число целых единиц в нём, например, в числе 4 2/7 это 4. При сложении целые части показывают, сколько целых единиц получится вместе, а при вычитании — сколько целых останется. Их можно считать отдельно от дробей, если затем правильно объединить обе части результата. Такой способ помогает не смешивать единицы и доли единицы.

Дробная часть смешанного числа — правильная дробь, записанная рядом с целой частью; в числе 4 2/7 это 2/7. Она показывает, какая доля ещё добавлена к целым единицам. Знаменатель 7 означает, что целую единицу разделили на семь равных частей, а числитель 2 — что взяли две такие части. Это помогает понять, можно ли складывать или вычитать дробные части сразу либо их нужно сначала привести к общему знаменателю.

Как это устроено

При сложении смешанных чисел целые единицы удобно объединить отдельно, а доли единицы — отдельно. Это работает потому, что одинаковые единицы можно складывать независимо: например, метры с метрами, а части метра — с такими же частями. После вычисления дробная сумма может оказаться неправильной дробью, то есть быть не меньше единицы. Тогда её превращают в смешанное число и прибавляют полученную целую часть к целым единицам.

Если знаменатели дробных частей разные, размер долей у них тоже разный. Например, третьи и четверти нельзя считать одинаковыми кусочками, поэтому сначала находят общий знаменатель и заменяют дроби равными им дробями с этим знаменателем. После этого доли становятся одного размера, и можно сложить числители. Знаменатель при сложении остаётся прежним, потому что он по-прежнему обозначает размер каждой доли.

При вычитании смешанных чисел дробные части можно вычесть отдельно, если дробная часть уменьшаемого не меньше дробной части вычитаемого. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, чтобы сравнивать и вычитать доли одного размера. Затем находят разность дробных частей и отдельно вычитают целые части. Разделение вычислений удобно, потому что целые единицы и доли единицы считаются по своим правилам.

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, дробных долей для вычитания не хватает. Тогда одну целую единицу из целой части уменьшаемого обменивают на дробь: при знаменателе n эта единица равна n/n. Целую часть уменьшают на 1, а дробную увеличивают на n/n; значение числа от этого не меняется. После приведения дробей к общему знаменателю можно вычесть дробные части и найти разность целых.

Вычисление полезно проверить обратным действием: сумму — вычитанием одного слагаемого, а разность — сложением вычитаемого и ответа. Такая проверка показывает, не ошиблись ли в вычислениях с целыми частями или дробями. Ещё проверь, что дробная часть ответа правильная: если числитель не меньше знаменателя, выдели целую единицу. Если числитель и знаменатель имеют общий делитель, дробь можно сократить.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Пользуйся таблицей как кратким планом: сначала выбери подходящую строку, затем выполни действия с дробями и целыми частями. При вычитании сравни дробные части, чтобы понять, понадобится ли заимствование. В конце приведи ответ к удобному виду и проверь его.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 2 3/7 + 1 2/7. Знаменатели одинаковые, поэтому дробные части уже выражены долями одного размера. Сначала сложим отдельно целые и дробные части.

1. Целые части: 2 + 1 = 3.
2. Дробные части: 3/7 + 2/7 = 5/7, знаменатель не меняем.
3. Записываем результат: 3 5/7. Дробь правильная, поэтому выделять дополнительные целые не нужно.

Ответ: 3 5/7. Проверка обратным действием: 3 5/7 − 1 2/7 = 2 3/7. Значит, сложение выполнено верно.

Задача 2. Вычислить 1 1/3 + 2 1/4. Здесь третьи и четверти — доли разного размера, значит, сначала заменим дроби равными дробями с общим знаменателем. Общий знаменатель для 3 и 4 — 12.

1. Преобразуем дробные части: 1/3 = 4/12, а 1/4 = 3/12.
2. Складываем целые части: 1 + 2 = 3. Складываем дроби: 4/12 + 3/12 = 7/12.
3. Соединяем части: получаем 3 7/12. Дробная часть правильная, поэтому результат больше преобразовывать не нужно.

Ответ: 3 7/12. Проверка: 3 7/12 − 2 1/4 = 3 7/12 − 2 3/12 = 1 4/12 = 1 1/3. При проверке сократили дробь 4/12 на 4.

Задача 3. Вычислить 5 1/6 − 2 3/4. Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, поэтому без заимствования вычесть не получится. Сначала приведём дроби к общему знаменателю 12, а затем займём одну целую единицу.

1. Преобразуем дроби: 1/6 = 2/12, 3/4 = 9/12. Поскольку 2/12 меньше 9/12, занимаем 1 у числа 5.
2. Представляем занятую единицу как 12/12: 5 2/12 = 4 14/12. Значение числа не изменилось: одну единицу перенесли в дробную часть.
3. Вычитаем: 14/12 − 9/12 = 5/12, а 4 − 2 = 2. Получаем 2 5/12.

Ответ: 2 5/12. Проверка: 2 5/12 + 2 3/4 = 2 5/12 + 2 9/12 = 4 14/12 = 5 2/12 = 5 1/6. Это исходное уменьшаемое, значит, результат верен.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать или вычитать дроби с разными знаменателями сразу. Так делают, когда считают знаменатель просто частью записи, но он задаёт размер доли: третьи и четверти неодинаковы. Сначала приведи дроби к общему знаменателю. Для проверки убедись, что перед действием дробные части записаны с одинаковыми знаменателями.

Ошибка: складывать знаменатели, например считать, что 2/7 + 3/7 = 5/14. При одинаковых знаменателях складывают числители, а знаменатель оставляют: части остаются седьмыми. Проверь себя на простом смысле: две седьмых и ещё три седьмых — это пять седьмых одной единицы, а не четырнадцатые.

Ошибка: при заимствовании уменьшить целую часть, но не прибавить к дробной занятую единицу. Тогда исходное число незаметно уменьшается, и весь ответ становится неверным. Запиши рядом, что одна единица равна дроби со знаменателем дробной части, например 1 = 8/8. После преобразования проверь, что значение уменьшаемого сохранилось.

Ошибка: оставить неправильную дробь в дробной части смешанного ответа или не сократить её, когда это возможно. Неправильная дробь содержит целые единицы, которые следует перенести в целую часть; сокращение делает запись проще. Раздели числитель на знаменатель, чтобы выделить целую часть, а затем проверь, нет ли у числителя и знаменателя общего делителя.

Связь с другими темами

Для работы со смешанными числами нужны навыки сложения и вычитания обыкновенных дробей, приведения к общему знаменателю и преобразования неправильной дроби в смешанное число. Связь между смешанным числом и неправильной дробью даёт ещё один способ вычисления: можно сначала перевести числа в неправильные дроби. Тогда действие выполняется по правилам для дробей, а ответ при необходимости снова записывается смешанным числом.

Эти вычисления помогают решать задачи о величинах, выраженных дробями: длине, массе, времени и других измерениях. Например, чтобы найти общую длину двух отрезков, складывают смешанные числа, а чтобы узнать, на сколько один отрезок длиннее другого, их вычитают. Единицы измерения при этом должны быть одинаковыми.

Что запомнить

• При сложении смешанных чисел складывают целые и дробные части.
• При вычитании смешанных чисел вычитают дробные части после приведения к общему знаменателю.
• Знаменатели дробей при сложении и вычитании не складывают и не вычитают.
• Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно занять одну целую единицу.
• Одну целую единицу можно представить дробью со знаменателем дробной части.
• Неправильную дробь в дробной части ответа преобразуют в смешанное число.
• Результат можно проверить обратным действием.