Сложение и вычитание смешанных чисел

Определения и обозначения

Смешанное число состоит из целой части и дробной части, например 3 2/5. Его записывают целым числом и правильной дробью рядом, а читают: «три целых две пятых». Такая запись удобна, когда величина больше одной целой единицы, но не равна целому числу.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, например 2/5. В записи смешанного числа она показывает часть следующей целой единицы. Благодаря ей можно точно указать, сколько ещё долей добавлено к целому числу.

Неправильная дробь — дробь, у которой числитель не меньше знаменателя, например 7/5. Она может обозначать несколько целых единиц и оставшуюся часть. Поэтому неправильную дробь часто превращают в смешанное число: например, 7/5 = 1 2/5.

Общий знаменатель — число, на которое можно заменить знаменатели нескольких дробей, сохранив их значения. Например, дроби 1/3 и 1/4 можно записать со знаменателем 12. Общий знаменатель нужен, чтобы сравнивать и выполнять действия с долями одинакового размера.

Как это устроено

Если у дробных частей одинаковые знаменатели, доли в них одного размера. Поэтому при сложении удобно отдельно сложить целые числа, а затем числители дробей, не меняя знаменатель. Это похоже на подсчёт целых предметов и одинаковых частей: целые единицы не смешиваются с долями.

При разных знаменателях размеры долей различаются: например, треть и четверть — не одинаковые части целого. Поэтому сначала дроби заменяют равными им дробями с общим знаменателем. После этого доли становятся одинакового размера, их количество можно складывать, а знаменатель остаётся прежним, потому что размер доли не меняется.

Иногда сумма дробных частей становится неправильной дробью, то есть в ней набирается одна или несколько целых единиц. Чтобы ответ было удобно читать, неправильную дробь превращают в смешанное число: числитель делят на знаменатель, частное показывает целую часть, а остаток — числитель дробной части. Эту целую часть прибавляют к сумме целых частей исходных чисел.

При вычитании целых частей и дробных частей тоже стараются вычитать отдельно. Но если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, напрямую вычесть их нельзя: не хватает долей нужного размера. Тогда одну целую единицу из целой части уменьшаемого заменяют дробью, равной единице, с нужным знаменателем, например 1 = 6/6. Целая часть уменьшается на 1, а дробных долей становится больше.

Если знаменатели дробных частей разные, сначала нужно привести их к общему знаменателю, и только затем находить разность. Иначе вычитались бы доли разного размера, а это всё равно что пытаться вычесть сантиметры из метров без перевода единиц. После приведения дроби обозначают одинаковые доли, поэтому можно вычесть их числители. Если долей в уменьшаемом не хватает, выполняют занятие единицы.

Порядок сложения и вычитания смешанных чисел

Найди в таблице случай, который подходит к примеру, и выполняй действия по порядку. Перед сложением или вычитанием дробей проверь, одинаковы ли знаменатели. В конце посмотри, не нужно ли выделить целую часть или упростить дробь.

Разбор задач

Вычисли 2 1/5 + 3 2/5

Знаменатели дробных частей одинаковые: обе дроби показывают пятые доли. Значит, можно сложить целые части отдельно от дробных, не подбирая новый знаменатель. Проверим, не получится ли из дробной суммы целая единица.

1. Сложим целые части: 2 + 3 = 5.
2. Сложим дробные части: 1/5 + 2/5 = 3/5. Знаменатель остаётся 5, потому что размер долей не изменился.
3. Объединим результаты: 5 + 3/5 = 5 3/5. Дробь 3/5 правильная, поэтому дополнительную целую часть выделять не нужно.

Ответ: 5 3/5.

Вычисли 1 1/3 + 2 1/4

Здесь знаменатели разные, поэтому сначала представим дробные части в долях одинакового размера. Для 3 и 4 подходит общий знаменатель 12. После сложения проверим, не образуют ли дробные части целую единицу.

1. Сложим целые части: 1 + 2 = 3.
2. Приведём дроби к знаменателю 12: 1/3 = 4/12, а 1/4 = 3/12. Значения дробей не изменились, потому что числитель и знаменатель умножили на одно и то же число.
3. Сложим дробные части: 4/12 + 3/12 = 7/12. Это правильная дробь, значит целая часть не выделяется.
4. Запишем результат вместе: 3 + 7/12 = 3 7/12.

Ответ: 3 7/12.

Вычисли 5 1/6 − 2 3/4

Сначала приведём дробные части к общему знаменателю 12: 1/6 = 2/12, а 3/4 = 9/12. Дробной части 2/12 не хватает, чтобы вычесть 9/12, поэтому займём одну целую единицу у числа 5. Проверка после вычисления поможет убедиться, что занятую единицу учли верно.

1. Уменьшим целую часть 5 на 1: останется 4. Занятую единицу запишем как 12/12, так как дроби имеют знаменатель 12.
2. Прибавим эту дробь к 2/12: 2/12 + 12/12 = 14/12. Теперь можно вычесть 9/12.
3. Вычтем дробные части: 14/12 − 9/12 = 5/12. Вычтем целые части: 4 − 2 = 2.
4. Объединим результаты: 2 + 5/12 = 2 5/12. Проверим: 2 5/12 + 2 3/4 = 2 5/12 + 2 9/12 = 4 14/12 = 5 1/6.

Ответ: 2 5/12.

Типичные ошибки

Иногда складывают или вычитают и числители, и знаменатели, например считают 1/4 + 2/4 = 3/8. Так делать нельзя: знаменатель показывает размер долей, а не их количество. Ошибка появляется, когда числа в дроби воспринимают как два слагаемых. Проверь себя: при одинаковых знаменателях знаменатель в ответе должен остаться тем же.

Ещё одна ошибка — складывать дробные части с разными знаменателями без подготовки. Например, нельзя сразу выполнять действие с 1/3 и 1/4, потому что это доли разного размера. Обычно так происходит, когда забывают о смысле знаменателя. Перед вычислением сравни знаменатели и, если они различаются, приведи дроби к общему.

При вычитании можно уменьшить целую часть на единицу, но забыть представить эту единицу дробью с нужным знаменателем. Тогда дробных долей в уменьшаемом не станет больше, и вычитание останется неверным. Занятая единица должна быть равна 1: например, при знаменателе 8 это 8/8. Проверь равенство дроби единице и то, что целая часть уменьшилась ровно на 1.

Неправильную дробь иногда оставляют в ответе или неверно выделяют из неё целую часть. Например, из 9/4 нужно получить 2 1/4, потому что 9/4 содержит две целые части и ещё 1/4. Ошибка возникает при неверном делении числителя на знаменатель. Проверь деление умножением: 2 × 4 + 1 = 9.

Связь с другими темами

Для работы со смешанными числами нужно уметь складывать и вычитать натуральные числа, а также выполнять действия с обыкновенными дробями. Особенно важно уметь приводить дроби к общему знаменателю: без этого нельзя правильно сложить или вычесть дробные части с разными знаменателями. Навыки темы пригодятся в задачах на величины, например при работе с длиной или массой, и в дальнейших вычислениях с дробями.

Что запомнить

• При сложении смешанных чисел складывают целые и дробные части.
• Перед действиями с дробями с разными знаменателями их приводят к общему знаменателю.
• Знаменатель дроби при сложении и вычитании не складывают и не вычитают.
• Неправильную дробь в ответе можно преобразовать в смешанное число.
• Если дробную часть уменьшаемого вычесть нельзя, занимают одну целую единицу.
• Занятую целую единицу заменяют дробью, равной единице, с нужным знаменателем.