12. Сложение и вычитание смешанных чисел

Определения и обозначения

Смешанное число — число, состоящее из целой и дробной частей, например 3 2/5. Оно связано с неправильной дробью: 3 2/5 означает 3 + 2/5 и равно 17/5. Чтобы перейти к неправильной дроби, целую часть умножают на знаменатель дробной части и прибавляют числитель. Такая запись помогает выполнять действия с числами, которые больше единицы и имеют дробную часть.

Целая часть смешанного числа — натуральное число, отделённое от дробной части; в записи 3 2/5 это 3. Между целой частью и дробью ставят пробел, но он не означает умножение: число читают «три целых две пятых». Целая часть показывает, сколько полных единиц содержится в числе. При сложении и вычитании с ней работают отдельно, если дробные части после вычисления правильно учтены.

Правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя, например 2/5. Она меньше единицы и в смешанном числе обозначает часть ещё одной целой единицы. Поэтому дробная часть стандартной записи смешанного числа должна быть правильной. Если при вычислении получилась неправильная дробь, её можно преобразовать: выделить целую часть, чтобы снова записать результат смешанным числом.

Как это устроено

Если при сложении дробных частей получается меньше единицы, целые и дробные части можно сложить отдельно. Это работает потому, что каждое смешанное число представляет собой сумму своей целой части и дроби: например, 2 1/5 = 2 + 1/5. Сложение таких сумм позволяет сгруппировать целые числа и дроби. Перед сложением дробей проверь знаменатели: при разных знаменателях сначала нужно найти общий.

Иногда сумма дробных частей равна единице или больше неё, поэтому её нельзя оставить как дробную часть смешанного числа. Приведи дроби к общему знаменателю и сложи числители, сохраняя знаменатель. Если числитель полученной дроби не меньше знаменателя, выдели целую часть делением числителя на знаменатель. Эта целая единица или несколько единиц принадлежат общей сумме, поэтому их прибавляют к сумме целых частей.

При вычитании, когда дробная часть уменьшаемого не меньше дробной части вычитаемого, дроби можно вычесть отдельно от целых частей. Сначала приведи дроби к общему знаменателю, если это необходимо, и найди их разность. Затем вычти целые части и объедини полученные части в одно смешанное число. Такой способ удобен, потому что дробная разность остаётся неотрицательной и не требуется менять целую часть.

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, вычесть дроби напрямую и получить правильную дробь не получится. Тогда одну единицу из целой части уменьшаемого обменивают на дробь, у которой числитель равен знаменателю дробной части. Например, при знаменателе 6 одна единица — это 6/6. Эту дробь прибавляют к дробной части уменьшаемого, а целую часть уменьшаемого уменьшают на 1; после этого обе разности можно вычислить.

Общий знаменатель нужен потому, что числители дробей считают одинаковые по размеру доли только тогда, когда знаменатели совпадают. Поэтому перед сложением или вычитанием дробных частей найди общий знаменатель, а при необходимости преобразуй обе дроби. После вычисления сократи дробь, если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число. Если получилась неправильная дробь, выдели целую часть; если дробная часть равна целой единице, её можно перенести к целой части.

Сложение и вычитание смешанных чисел

В таблице собраны действия для четырёх случаев. Сначала найди строку, подходящую к примеру, и посмотри, нужно ли приводить дроби к общему знаменателю или занимать единицу. Затем выполни действия с дробными и целыми частями, учитывая перенос целой части при сложении. В конце проверь, что результат записан корректно.

Разбор задач

Вычислите 2 1/5 + 3 2/5. Знаменатели дробных частей одинаковы, а их сумма меньше единицы, поэтому заимствовать или выделять целую часть не нужно. Можно отдельно сложить целые части и дроби. Запишем вычисления по шагам.

1. Сложим целые части: 2 + 3 = 5.
2. Сложим дробные части: 1/5 + 2/5 = 3/5.
3. Объединим результаты: 5 + 3/5 = 5 3/5.

Ответ: 5 3/5. Проверка показывает, что дробная часть 3/5 меньше единицы, значит запись смешанного числа верна. При сложении дробей знаменатель остался прежним, поскольку он был одинаковым. В отдельном переводе ответа в неправильную дробь необходимости нет.

Вычислите 1 3/4 + 2 2/3. Здесь знаменатели дробных частей разные, поэтому сначала приведём их к общему знаменателю 12. Затем сложим дроби и проверим, не образовалась ли ещё одна целая единица. Так мы не потеряем часть суммы, которая скрывается в неправильной дроби.

1. Приведём дроби к знаменателю 12: 3/4 = 9/12, 2/3 = 8/12.
2. Сложим дробные части: 9/12 + 8/12 = 17/12 = 1 5/12.
3. Сложим целые части и прибавим выделенную единицу: 1 + 2 + 1 = 4.
4. Запишем дробный остаток: 4 5/12.

Ответ: 4 5/12. Из 17/12 выделили одну целую единицу, потому что 17/12 = 12/12 + 5/12. Остаток 5/12 — правильная дробь, а выделенная единица вошла в целую часть ответа. Это можно проверить сложением: дробные части дали одну целую и ещё 5/12.

Вычислите 5 1/6 − 2 3/4. Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, поэтому понадобится заимствование. Сначала приведём обе дроби к знаменателю 12, а затем обменяем одну целую единицу на 12/12. После этого можно вычесть дробные части, не получая отрицательной дроби.

1. Приведём дроби к общему знаменателю: 1/6 = 2/12, 3/4 = 9/12.
2. Займём единицу у 5: получим 4 целых, а дробную часть увеличим на 12/12. Тогда 2/12 + 12/12 = 14/12.
3. Вычтем дробные части: 14/12 − 9/12 = 5/12.
4. Вычтем целые части: 4 − 2 = 2, и объединим части: 2 5/12.

Ответ: 2 5/12. При заимствовании число не изменилось: 5 2/12 = 4 14/12. Дробная разность оказалась положительной, а целая часть после вычитания равна 2. Проверка обратным действием даёт 2 5/12 + 2 3/4 = 5 1/6.

Типичные ошибки

• Нельзя складывать или вычитать дроби, напрямую выполняя действие и с числителями, и со знаменателями. Так иногда поступают, потому что считают знаменатель обычной частью числа, но он показывает размер долей. Сначала приведи дроби к общему знаменателю и проверь, что он не изменился при сложении или вычитании.

• При заимствовании нельзя только уменьшить целую часть на 1 и забыть прибавить равную единице дробь к дробной части. Ошибка возникает, если воспринимать заимствование как простое изменение целого числа. Проверь, что одна единица заменена дробью вида 5/5, 8/8 или другой дробью с нужным знаменателем.

• После сложения дробных частей, давших неправильную дробь, нельзя оставить её как дробную часть смешанного числа. Например, 17/12 содержит целую единицу и остаток 5/12. Выдели целую часть делением числителя на знаменатель и прибавь её к сумме целых частей.

• Нельзя записывать окончательный ответ с отрицательной дробной частью, если при вычитании её можно исправить заимствованием. Такая запись обычно появляется, когда дробные части вычитают отдельно, не проверив, какая из них больше. Перед вычислением сравни дробные части и, если меньшая стоит у уменьшаемого, займи целую единицу.

Связь с другими темами

Для сложения и вычитания смешанных чисел нужны навыки работы с обыкновенными дробями: умение находить общий знаменатель, складывать и вычитать дроби, сокращать результат. Если эти действия пока вызывают трудности, полезно сначала потренироваться на дробях без целой части. Освоенные приёмы пригодятся при вычислениях с рациональными числами. Они также помогают решать текстовые задачи на величины, например о длине, массе или времени.

Что запомнить

• Дробные части складывают или вычитают после приведения к общему знаменателю.
• Если сумма дробных частей не меньше единицы, из неё выделяют целую часть.
• При вычитании, если дробной части не хватает, занимают одну единицу у целой части.
• Одна целая единица равна дроби, у которой числитель равен знаменателю.
• Вычисления с целыми и дробными частями согласуют, а не выполняют независимо без проверки.
• Результат при необходимости сокращают и записывают в виде смешанного числа.