§3. Умножение и деление обыкновенных дробей

Определения и обозначения

Умножение обыкновенных дробей — действие, при котором числитель первой дроби умножают на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй: a/b · c/d = ac/bd. Полученное произведение можно сократить. Это правило позволяет находить часть от части и выполнять вычисления без приведения дробей к общему знаменателю.

Обратное число для ненулевой дроби a/b — дробь b/a, полученная перестановкой числителя и знаменателя. При умножении получается ab/ba = 1, потому что одинаковые ненулевые множители сокращаются. Обратное число нужно прежде всего при замене деления умножением.

Деление обыкновенных дробей заменяют умножением делимого на число, обратное делителю: a/b : c/d = a/b · d/c. Переворачивают именно второй множитель, то есть делитель. Правило действует только при c/d ≠ 0, ведь делить на ноль нельзя.

Взаимно обратные числа — два числа, произведение которых равно 1. Например, 3/7 и 7/3 взаимно обратны, как и 5 и 1/5. Ноль обратного числа не имеет, потому что произведение нуля с любым числом равно нулю, а не единице.

Как это устроено

Рассмотрим дробь от величины: найдём 2/3 от 3/5. Сначала берём 3/5 величины, а затем только 2/3 этой части, поэтому получаем 2/3 · 3/5. Числитель показывает, сколько частей берём, а знаменатель — на сколько равных частей разделена величина, поэтому числители и знаменатели перемножаются: 2 · 3 и 3 · 5. В результате выходит 6/15 = 2/5.

При умножении часто можно сократить множители ещё до самого умножения. Например, в произведении 7/12 · 18/35 число 7 сокращается с 35, а 18 — с 12, потому что они стоят в числителе и знаменателе всего произведения. Такое сокращение заменяет каждый общий множитель единицей и не меняет значение произведения. Маленькие числа затем легче перемножить.

Чтобы понять деление, вспомним: если число умножить на его обратное, получится 1. Поэтому деление на ненулевое число заменяют умножением на число, которое возвращает единицу: a : b = a · 1/b. Для дробного делителя c/d таким числом является d/c, и получается a/b : c/d = a/b · d/c. Делитель не может быть нулём, поскольку у нуля нет обратного числа.

Смешанное число сначала превращают в неправильную дробь: целую часть умножают на знаменатель, к результату прибавляют числитель, а знаменатель оставляют прежним. Затем выполняют умножение или деление дробей, сокращая множители. После вычисления неправильную дробь можно представить смешанным числом, если это удобно. В выражении с несколькими действиями сначала выполняют умножение и деление слева направо, а затем сложение и вычитание.

Правила умножения и деления обыкновенных дробей

Сначала найдите строку, которая соответствует действию, а затем проверьте особые условия. Если в произведении есть общие множители, сокращайте их крест-накрест до перемножения. После любого действия проверьте, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.

Разбор задач

1. Вычислите 2/3 · 3/5

Это произведение двух дробей, поэтому отдельно перемножим числители и знаменатели. После этого проверим, есть ли у полученной дроби общий делитель. Такой порядок помогает не потерять ни один множитель.

1. Перемножаем числители: 2 · 3 = 6.
2. Перемножаем знаменатели: 3 · 5 = 15.
3. Получаем 6/15 и сокращаем на 3: 6/15 = 2/5.

Ответ: 2/5.

2. Вычислите 7/12 · 18/35

Большие числа здесь не нужно перемножать сразу. Найдём общие множители в числителях и знаменателях: 7 и 35 делятся на 7, а 18 и 12 — на 6. Сокращение заранее даст то же произведение, но вычисление станет короче.

1. Сокращаем 7 и 35 на 7: получаем 1 и 5.
2. Сокращаем 18 и 12 на 6: получаем 3 и 2.
3. Перемножаем оставшиеся числа: 1 · 3 / (2 · 5) = 3/10.

Ответ: 3/10.

3. Вычислите 2 1/4 : 1 1/2

Смешанные числа неудобно делить напрямую, поэтому сначала заменим их неправильными дробями. Затем перевернём только дробь, соответствующую делителю, и заменим деление умножением. В конце сократим произведение.

1. 2 1/4 = (2 · 4 + 1)/4 = 9/4, а 1 1/2 = (1 · 2 + 1)/2 = 3/2.
2. Заменяем деление: 9/4 : 3/2 = 9/4 · 2/3.
3. Сокращаем 9 и 3 на 3, 2 и 4 на 2: получаем 3/2.
4. Выделяем целую часть: 3/2 = 1 1/2.

Ответ: 1 1/2.

Типичные ошибки

При умножении иногда складывают числители или знаменатели, например получают 5/8 из 2/3 · 3/5. Так делают из-за смешения правил умножения и сложения дробей. Проверьте себя: при умножении должны появиться произведения числителей и знаменателей, а не их суммы.

При делении некоторые переворачивают делимое, то есть первое число. Ошибка возникает потому, что внимание привлекает само действие деления, но обратным делают именно делитель — второе число. Прочитайте выражение слева направо и замените знак деления умножением, изменив только дробь справа.

Нельзя сокращать слагаемые или отдельные части числа, например в сумме 2 + 3. Сокращение разрешено только у общих множителей числителя и знаменателя. Чтобы проверить действие, разложите произведение на множители и убедитесь, что сокращаемые числа находятся сверху и снизу дроби.

Смешанные числа иногда оставляют без преобразования или забывают о запрете деления на ноль. Перед вычислением замените каждое смешанное число неправильной дробью и отдельно проверьте делитель. Если он равен нулю, такое выражение вычислить нельзя.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь находить дробь от числа, сокращать дроби и переводить смешанные числа в неправильные дроби. Эти навыки становятся отдельными шагами нового алгоритма, поэтому ошибки в них сразу влияют на ответ.

Умножение и деление дробей нужны при действиях с рациональными числами, решении уравнений и задачах на части величин. Например, с их помощью находят расстояние по известной части пути или определяют величину, если дана её доля.

Что запомнить

• Чтобы умножить дроби, перемножают числители и знаменатели.
• Сокращать общие множители можно до умножения и после него.
• Чтобы разделить на дробь, умножают на обратную ей дробь.
• Обратное число существует только для числа, не равного нулю.
• Смешанные числа перед умножением или делением переводят в неправильные дроби.
• Ответ по возможности сокращают и выделяют целую часть.