13. Умножение дробей

Определения и обозначения

Произведение дробей — результат умножения одной дроби на другую. При умножении числители становятся множителями числителя ответа, а знаменатели — множителями знаменателя. Например, в записи 2/3 · 5/7 получаются числитель 2 · 5 и знаменатель 3 · 7. Это правило позволяет находить, какая часть остаётся, если взять часть от другой части.

Сокращение дроби — деление её числителя и знаменателя на один и тот же общий делитель. Например, дробь 6/8 можно разделить сверху и снизу на 2 и получить 3/4. Сокращение не меняет значение дроби, зато делает числа меньше. Поэтому оно помогает упростить вычисления до умножения или привести ответ к более простому виду.

Умножение смешанных чисел — умножение смешанных чисел после перевода их в неправильные дроби. Смешанное число состоит из целой части и дробной части, поэтому его сначала нужно представить одной дробью. Например, 1 2/3 превращается в 5/3. Так можно применить к смешанным числам знакомое правило умножения дробей.

Дробь от числа — часть числа, которую находят умножением этого числа на дробь. Например, чтобы найти 3/5 от 20, вычисляют 20 · 3/5. Это понятие нужно в задачах, где требуется определить часть длины, массы, количества предметов или другой величины.

Как это устроено

Представь, что нужно найти 1/2 от 3/4. Четверти — это четыре равные части целого, а половина от каждой четверти составляет одну восьмую. В трёх четвертях таких восьмых частей шесть, поэтому 1/2 · 3/4 = 3/8. На этом примере видно, почему числители перемножают: они показывают, сколько частей взято, а знаменатели перемножают, потому что части становятся мельче. Для любых дробей получается правило: a/b · c/d = (a · c)/(b · d).

Перед вычислением часто удобно сократить числитель одной дроби со знаменателем другой. Например, в 14/25 · 15/21 число 14 и 21 делятся на 7, а 15 и 25 — на 5. После сокращения остаётся 2/5 · 3/3, поэтому перемножать приходится меньшие числа. Это допустимо благодаря основному свойству дроби: если разделить числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой делитель, значение дроби сохранится. При умножении мы делим на общий множитель один числитель и один знаменатель, то есть упрощаем будущие множители, не меняя произведения.

Смешанное число нельзя умножать, просто перемножая отдельно целые части и числители: такое действие не учитывает все части числа. Сначала переведи смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножь целую часть на знаменатель и прибавь числитель, а результат запиши над прежним знаменателем. Затем перемножь получившиеся дроби по обычному правилу. Если итоговая дробь неправильная, выдели из неё целую часть.

Умножение числа на дробь помогает найти часть этого числа, потому что дробь задаёт, сколько равных долей нужно взять. Например, 3/5 от 20 означает взять три доли, если 20 разделили на пять равных долей. Одна такая доля равна 20/5, а три доли — 3 · (20/5), то есть 20 · 3/5. Значит, действие «найти дробь от числа» сводится к умножению, а не к сложению или вычитанию.

После умножения проверь, можно ли сократить полученную дробь, и выдели целую часть, если числитель больше знаменателя. Затем оцени ответ по смыслу задачи. Например, правильная дробь меньше единицы, поэтому её произведение на положительное число должно быть меньше этого числа. Такая проверка помогает заметить ошибку в вычислениях или в записи результата.

Правила умножения дробей и связанные действия

Найди в таблице строку, которая соответствует примеру, и сначала выполни указанное действие. Затем проверь ответ по последнему столбцу. Если в выражении есть смешанные числа, начни с их перевода в неправильные дроби.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2/3 · 5/7. Здесь обе дроби обыкновенные, поэтому умножаем числители между собой, а знаменатели — между собой. После вычисления проверяем, есть ли у полученных чисел общий делитель. В данном случае ответ уже нельзя сократить.

1. Умножаем числители: 2 · 5 = 10.
2. Умножаем знаменатели: 3 · 7 = 21.
3. Записываем произведение: 10/21. Числа 10 и 21 не имеют общего делителя, кроме 1.

Ответ: 10/21.

Задача 2. Вычислите 14/25 · 15/21. Можно сразу перемножить все числители и знаменатели, но числа получатся крупными. Сначала поищем общие множители в числителе одной дроби и знаменателе другой. После сокращения произведение будет проще вычислить, а итог всё равно останется тем же.

1. Сокращаем 14 и 21 на 7: получаем 2 и 3.
2. Сокращаем 15 и 25 на 5: получаем 3 и 5.
3. Умножаем оставшиеся числа: (2 · 3)/(5 · 3) = 6/15.
4. Сокращаем 6/15 на 3 и получаем 2/5.

Ответ: 2/5. Сокращать нужно было общие множители, расположенные в числителях и знаменателях, а не отдельные слагаемые.

Задача 3. Найдите 2 1/4 от 3 1/3. Слова «найдите от» подсказывают умножение. Оба числа смешанные, поэтому сперва заменим их неправильными дробями. Затем применим обычное правило и запишем результат с целой частью, если это удобно.

1. Переводим первое число: 2 1/4 = (2 · 4 + 1)/4 = 9/4.
2. Переводим второе: 3 1/3 = (3 · 3 + 1)/3 = 10/3.
3. Перемножаем дроби: 9/4 · 10/3 = 90/12.
4. Сокращаем 90/12 на 6 и получаем 15/2.
5. Выделяем целую часть: 15/2 = 7 1/2.

Ответ: 7 1/2. Результат больше каждого множителя, потому что оба смешанных числа больше единицы, поэтому такой ответ разумен.

Типичные ошибки

• Иногда перемножают числитель первой дроби со знаменателем второй. Ошибка возникает, если перепутать расположение чисел в дробях, но при умножении числители должны образовать числитель ответа, а знаменатели — его знаменатель. Проверь себя, подписав отдельно два произведения: «числитель на числитель» и «знаменатель на знаменатель».

• Можно по ошибке сложить числители или знаменатели, применив правило сложения дробей. При умножении сложение не используется: нужно найти произведение соответствующих чисел. Проверь действие по знаку между дробями и убедись, что числитель и знаменатель получены умножением.

• Нельзя сокращать слагаемые или просто зачёркивать похожие цифры. Сокращают только общий множитель числителя и знаменателя, то есть число, на которое делятся оба множителя без остатка. Чтобы проверить себя, разложи выражение на множители и укажи, какие именно числа делишь.

• Если смешанное число не перевести в неправильную дробь, правило умножения применится не ко всему числу. А если забыть сократить результат, ответ может остаться неудобным или быть записан не в требуемом виде. Проверь перевод по обратному действию и в конце найди общий делитель числителя и знаменателя.

Связь с другими темами

Для умножения дробей нужно знать, из чего состоят числитель и знаменатель, и уметь находить общий делитель. Сокращение опирается на основное свойство дроби: деление числителя и знаменателя на одно число не меняет её значения. Само правило умножения связано с умножением натуральных чисел и помогает упростить вычисления. Позже умножение дробей пригодится при нахождении части величины, решении задач и действиях с рациональными числами.

Что запомнить

• Чтобы умножить дроби, перемножь их числители и отдельно знаменатели.
• Сокращать дроби можно до умножения или после него.
• Сокращают только общие множители числителя и знаменателя.
• Смешанные числа перед умножением переводят в неправильные дроби.
• Чтобы найти дробь от числа, умножь число на эту дробь.
• Результат по возможности сократи и выдели целую часть.