"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Найти дробь от числа — значит вычислить, какую часть этого числа она составляет. Для этого число умножают на дробь: знаменатель показывает, на сколько равных частей разделить целое, а числитель — сколько таких частей взять. Поэтому можно сначала разделить число на знаменатель, а затем умножить на числитель. Это правило помогает находить части величин, решать задачи на проценты и выполнять умножение дробей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дробь от числа — это часть данного числа, которую находят умножением числа на дробь. Например, ⅓ от 12 — это 12 · ⅓ = 4. Так можно узнать, сколько составляет выбранная часть длины, количества предметов или другой величины. Понятие нужно, чтобы переводить запись дробью в конкретное число.
Числитель дроби показывает, сколько равных долей берут, а знаменатель — на сколько равных долей разделено целое. В дроби 3/8 число 8 означает, что целое делят на восемь одинаковых частей, а число 3 — что берут три такие части. Это помогает понять, какие действия нужны при вычислении. Не перепутай: знаменатель задаёт размер одной доли, а числитель — их количество.
Нахождение дроби от числа выполняют умножением числа на дробь. Чтобы записать это действие, целое число можно представить дробью со знаменателем 1: например, 10 = 10/1. Тогда 10 · 3/4 = 10/1 · 3/4. Такая запись особенно удобна, когда число не делится на знаменатель нацело или нужно сократить множители.
Чтобы найти одну долю числа, раздели число на знаменатель дроби. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, поэтому деление на него и даёт размер одной части. Например, одна пятая от 30 равна 30 : 5 = 6. Если разделить на другое число, получится доля другого размера.
Чтобы найти несколько одинаковых долей, умножь значение одной доли на числитель. В дроби 3/8 берут три доли, каждая из которых равна одной восьмой целого. Поэтому сначала находят одну восьмую, а затем умножают ответ на 3. Так становится понятно, почему находить дробь от числа нужно умножением на дробь.
Есть два равносильных способа: разделить число на знаменатель и умножить на числитель либо сначала умножить число на числитель, а затем разделить произведение на знаменатель. Например, для 3/8 от 64 получаем 64 : 8 · 3 или 64 · 3 : 8. Оба способа дают одно и то же, потому что в обоих случаях число умножается на числитель и делится на знаменатель. Выбирай порядок, с которым легче считать.
Результат не обязательно меньше исходного числа: всё зависит от того, меньше или больше дробь единицы. Если дробь меньше единицы, берут часть целого, поэтому результат меньше числа; если дробь больше единицы, берут больше одного целого. Например, 3/2 от 10 равно 15, то есть больше 10. Дробь, равная единице, оставляет число без изменения.
Иногда число или дробь записаны так, что вычислять сразу неудобно. Тогда представь целое число дробью со знаменателем 1 и сократи общие множители до умножения. Например, в выражении 42/5 · 5/6 можно сократить 5 в числителе и знаменателе, а 42 и 6 разделить на 6. Сокращение упрощает вычисления, но не меняет значение произведения.
В таблице собраны случаи, в которых полезно выбирать разный порядок вычислений. Сначала определи, что дано, затем выполни указанные действия и сопоставь полученное число с исходным. Проверка помогает заметить ошибки в действиях или оценить, разумен ли ответ.
| Что дано | Как найти | Пример вычисления | Проверка результата |
|---|---|---|---|
| Дробь с числителем 1 | Разделить число на знаменатель | ⅕ от 30: 30 : 5 = 6 | Одна доля меньше целого |
| Обыкновенная дробь | Разделить на знаменатель и умножить на числитель | ⅜ от 64: 64 : 8 · 3 = 24 | Сравнить дробь с 1 |
| Дробь, которую можно сократить перед умножением | Записать число дробью и сократить общие множители | ⅚ от 42/5: 42/5 · 5/6 = 7 | Убедиться, что сокращали множители, а не слагаемые |
| Дробь больше единицы | Вычислить произведение обычным способом | 3/2 от 10: 10 · 3/2 = 15 | Результат больше исходного числа |
Задача: найти ⅕ от 30. Дробь с числителем 1 показывает одну равную долю, поэтому нужно разделить число на знаменатель. Это сразу отвечает на вопрос, сколько составляет одна пятая от всего количества. Затем полезно убедиться, что доля меньше исходного числа.
Ответ: 6.
Задача: найти ⅜ от 64. Нужно взять три доли, каждая из которых составляет одну восьмую числа. Сначала найдём размер одной доли делением на 8, а затем возьмём три такие доли. Этот порядок удобен, потому что 64 делится на 8 нацело.
Ответ: 24.
Задача: найти ⅚ от 42/5. Здесь число само записано дробью, поэтому удобно перемножить две дроби. Перед вычислением можно сократить множители: это уменьшит числа и поможет не ошибиться в умножении. Сокращать разрешается только общий множитель числителя и знаменателя.
Ответ: 7.
Ошибка: умножить число только на знаменатель. Её допускают, потому что замечают знаменатель в записи дроби, но забывают, что он задаёт количество равных частей. Раздели число на знаменатель, чтобы получить размер одной доли, а потом учти числитель. Для проверки оцени, соответствует ли ответ числу взятых долей.
Ошибка: разделить число на числитель. Числитель показывает, сколько долей нужно взять, а не на сколько частей делить целое. Сначала раздели число на знаменатель и умножь размер доли на числитель. Проверь ход решения на дроби с числителем 1: там должна получиться одна доля.
Ошибка: поменять местами числитель и знаменатель. Так дробь превращается в обратную, поэтому ответ обычно меняется: например, ⅓ и 3 дают разные части числа. Запиши, что означает каждое число: знаменатель — число равных долей, числитель — сколько из них берут. Проверить себя можно сравнением дроби до и после перестановки.
Ошибка: считать, что дробь от числа всегда меньше самого числа. Такое верно для дроби меньше единицы, но не для дроби больше единицы. Например, 3/2 от 10 равно 15. Перед вычислением сравни числитель со знаменателем: если числитель больше, дробь больше единицы и результат может превысить исходное число.
Для нахождения дроби от числа нужно уметь делить число на равные части, умножать натуральные числа и понимать смысл числителя и знаменателя. Эти знания объясняют, почему сначала находят одну долю, а затем берут нужное их количество. Правило пригодится в задачах на части величины и проценты, которые можно представить дробями. Оно также связано с умножением дробей: число записывают дробью со знаменателем 1 и умножают дроби.
Почему при нахождении дроби от числа нужно умножать, а не делить на дробь?
Умножение на дробь означает, что мы берём указанную дробью часть числа. Например, умножить на ⅓ — это взять одну треть. Деление на дробь отвечает на другой вопрос и обычно даёт иной результат.
Можно ли сначала умножить число на числитель, а потом разделить на знаменатель?
Да. Число умножают на числитель, а произведение делят на знаменатель: a · m/n = (a · m) : n. Если вычисления так становятся неудобными, сначала раздели число на знаменатель.
Что делать, если число не делится на знаменатель нацело?
Запиши число дробью со знаменателем 1 и умножь дроби: a · m/n = am/n. Затем сократи результат, если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число.
Почему результат может оказаться больше исходного числа?
Это происходит, если дробь больше единицы. Например, 3/2 от 10 равно 15: взяли не целое число, а полтора таких числа.
Когда можно сократить множители при вычислении?
При умножении дробей можно сократить числитель одной дроби и знаменатель другой, если они имеют общий делитель. Сокращение выполняют до умножения, чтобы числа стали меньше; значение выражения при этом не меняется.
14. Нахождение дроби от числа
