"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Дробь от числа показывает, какую часть этого числа нужно взять. Чтобы её найти, число умножают на заданную дробь: знаменатель указывает, на сколько равных частей разделить число, а числитель — сколько частей взять. Например, чтобы найти 3/5 от 20, можно разделить 20 на 5, а затем умножить результат на 3. Это правило помогает решать задачи о частях величины и пригодится при изучении процентов и пропорций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дробь от числа — это часть данного числа, которую задаёт дробь. Например, 3/5 от некоторого числа означает три части из пяти равных частей этого числа. Такое понятие помогает находить долю величины: часть пути, количество предметов или часть денег.
Найти дробь от числа — значит определить, чему равна указанная часть целого. Например, найти 1/4 от 20 — значит узнать, сколько составит одна из четырёх равных частей числа 20. Это нужно, когда в задаче известна вся величина, а требуется найти только её долю.
Правило нахождения дроби от числа такое: число умножают на эту дробь. Если требуется найти m/n от числа a, записывают a · m/n. Эта запись позволяет применить знакомое умножение и получить значение нужной части.
В дроби m/n число n называют знаменателем, а число m — числителем. Знаменатель показывает, на сколько равных частей делят число, а числитель — сколько таких частей берут. Благодаря этому можно сначала найти величину одной части, а потом составить из неё нужное количество частей.
Представь число 20 в виде полоски, разделённой на пять одинаковых клеток. Вся полоска — это 20, поэтому на одну клетку приходится 20 : 5 = 4. Значит, деление на знаменатель находит размер одной равной части: именно столько единиц соответствует доле 1/5.
Если нужна не одна, а три такие части, надо взять три клетки по 4 единицы в каждой. Это можно сделать умножением: 4 · 3 = 12. Поэтому для дроби 3/5 сначала делят число на 5, а потом умножают результат на 3; числитель сообщает, сколько частей требуется взять.
Эту последовательность можно записать как умножение числа на дробь: a · m/n. При умножении на дробь числитель умножают на число, а знаменатель оставляют делителем, поэтому a · m/n = a · m : n. Иначе говоря, сначала можно умножить число на числитель, а затем разделить полученное произведение на знаменатель.
Порядок действий выбирают так, чтобы вычислять было проще. Если исходное число делится на знаменатель без остатка, сначала делят: числа при этом обычно меньше, и ответ легко проверить. Например, вместо 36 · 7 : 12 удобнее посчитать 36 : 12 · 7; значение не меняется, потому что сначала мы находим одну двенадцатую часть, а затем берём семь таких частей.
Если число или дробь записаны смешанным числом, удобно сначала представить смешанное число неправильной дробью. Например, 2 1/3 превращается в 7/3: две целые — это 6/3, и ещё 1/3 составляет 7/3. После перевода применяют обычное правило умножения; если смешанным числом записано исходное число, его также переводят в неправильную дробь, а результат при необходимости упрощают.
| Что известно | Действие | Запись |
|---|---|---|
| Число a и дробь m/n | Умножить число на дробь | a · m/n |
| Число удобно сначала разделить на знаменатель n | Разделить на n, затем умножить на m | a : n · m |
Выбери строку по тому, какие числа даны и какой порядок действий удобнее. Обе записи выражают одно правило, поэтому дают одинаковый ответ. Если число делится на знаменатель, обычно удобно использовать вторую запись.
Нужно взять три из пяти равных частей числа 20. Сначала выясним, сколько приходится на одну часть, разделив 20 на знаменатель 5. Затем возьмём три такие части, как показывает числитель.
Ответ: 12.
Можно умножить 36 на 7 и затем разделить на 12, но это не самый удобный порядок. Число 36 делится на знаменатель 12 без остатка. Поэтому сначала найдём одну двенадцатую, а после возьмём семь таких частей.
Ответ: 21.
Здесь дробь записана смешанным числом: она больше единицы, поэтому искомая часть может быть больше 15. Сначала переведём 2 1/3 в неправильную дробь, а затем воспользуемся правилом умножения. В записи 15 · 7/3 удобно сначала разделить 15 на знаменатель 3.
Ответ: 35.
Некоторые умножают число на знаменатель. Так бывает, если перепутать, что показывает нижнее число дроби: оно указывает число равных частей, а не количество взятых частей. Проверь себя: сначала найди размер одной части делением на знаменатель, а затем умножь её на числитель.
Другая ошибка — разделить число на числитель. Числитель показывает, сколько частей нужно взять, поэтому деление на него обычно не находит размер одной части. Чтобы проверить порядок, назови роли чисел вслух: знаменатель делит целое на равные части, числитель выбирает нужное количество частей.
Иногда выполняют только деление на знаменатель и на этом останавливаются. Получается лишь одна равная часть, даже если в условии требуется взять несколько частей. Перед ответом проверь, учёл ли ты числитель и выполнил ли умножение на него.
При работе со смешанным числом можно забыть перевести его в неправильную дробь или неверно выполнить перевод. Например, 2 1/3 — это 7/3, а не 3/3: целые части тоже нужно выразить в долях с тем же знаменателем. Для проверки умножь целую часть на знаменатель и прибавь числитель.
Для нахождения дроби от числа нужно понимать, что показывают числитель и знаменатель, и уметь делить натуральные числа. Эти знания объясняют, почему число сначала делят на знаменатель, а затем берут нужное количество частей. Само правило выражается умножением натурального числа на обыкновенную дробь.
Позже этот способ пригодится в задачах на части величины, проценты и пропорции. Например, процент можно представить дробью со знаменателем 100 и найти его от числа по тому же правилу. Значит, умение работать с дробями помогает решать задачи из разных разделов математики.
Почему дробь от числа находят умножением, а не сложением?
Умножение на дробь означает, что мы берём заданную часть числа. Например, умножить число на 1/4 — значит найти одну из четырёх равных частей. Сложение само по себе не выделяет такую часть.
Почему сначала делят на знаменатель?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей нужно разделить число. Поэтому деление на знаменатель находит размер одной части. Затем берут столько частей, сколько показывает числитель.
Можно ли сначала умножить число на числитель?
Да, можно: число умножают на числитель, а результат делят на знаменатель. Но если число делится на знаменатель без остатка, обычно удобнее сначала разделить.
Как найти дробь от числа, если число не делится на знаменатель?
Умножь число на числитель, а полученное произведение раздели на знаменатель. Можно также записать действие как умножение числа на дробь. Если результат не целый, его можно оставить обыкновенной дробью или записать смешанным числом.
Что делать, если дробь или число записаны в виде смешанного числа?
Смешанное число сначала можно перевести в неправильную дробь: целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель и записать результат над прежним знаменателем. Затем выполни умножение дробей и, если можно, сократи результат. Если смешанное число — это исходное число, его тоже удобно сначала записать неправильной дробью.
§12. Нахождение дроби от числа
