§11. Умножение дробей

Определения и обозначения

Умножение дробей — действие, при котором находят произведение дробей: числитель первой дроби умножают на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй. Например, a/b · c/d = (a · c)/(b · d). Это правило позволяет находить, например, часть от уже взятой части величины.

Произведение дробей — результат умножения дробей. В записи (a · c)/(b · d) число сверху, a · c, является числителем, а число снизу, b · d, — знаменателем. Такое обозначение помогает не перепутать, какие числа нужно перемножить между собой.

Умножение дроби на натуральное число можно рассматривать как умножение двух дробей: натуральное число записывают дробью со знаменателем 1. Например, 4 = 4/1, поэтому ⅔ · 4 = ⅔ · 4/1. Это сводит вычисление к уже знакомому правилу и помогает не придумывать отдельный способ.

Сокращение дробей — деление числителя и знаменателя на один и тот же общий множитель, не равный нулю. Сократить дробь можно после умножения или заранее — если общий множитель есть у числителя одного множителя и знаменателя другого. Так вычисления становятся проще, а значение произведения не меняется.

Как это устроено

Представь, что целое разделили на 5 равных частей и взяли 3 из них: это ⅗. Теперь каждую из этих частей разделили ещё на 2 равные части и взяли одну из них. Получилась половина от ⅗, то есть ½ · ⅗ = 3/10: каждая новая доля составляет одну десятую целого, а взяты таких долей три. Поэтому при умножении дробей отдельно умножаются числа, показывающие количество взятых частей, и числа, показывающие деление целого.

При умножении дроби на натуральное число число удобно представить дробью со знаменателем 1. Например, 7/12 · 18 = 7/12 · 18/1. До вычисления можно сократить 18 и 12 на 6: останутся 3 и 2, поэтому ответ равен 7 · 3/2 = 21/2. Сокращение не меняет значение выражения: один множитель числителя и один множитель знаменателя делятся на одно и то же число.

Чтобы перемножить смешанные числа, сначала каждое превращают в неправильную дробь. Например, 2 ¼ — это 9/4, потому что 2 · 4 + 1 = 9, а 3 ⅓ — это 10/3. Смешанное число содержит целую часть и дробную, поэтому нельзя просто перемножить отдельно записанные целые части и числители. После перевода можно применить обычное правило умножения дробей.

Найти дробь от числа — значит найти указанную часть этого числа. Например, ⅗ от 20 можно найти как 20 · ⅗: сначала 20 делят на 5 равных частей, затем берут 3 такие части, получая 12. Умножение даёт тот же результат: 20 · ⅗ = 60/5 = 12. Этот способ работает, потому что дробь показывает, на сколько равных частей делить число и сколько таких частей взять.

При умножении можно менять множители местами и объединять их в удобные группы: это переместительное и сочетательное свойства. Например, в выражении ⅚ · 3/10 можно сначала сократить 6 и 10 на 2, а затем перемножить оставшиеся множители. Такой порядок помогает избегать больших чисел и быстрее получать ответ. Следи только за тем, чтобы сокращались общие множители числителя и знаменателя.

Случаи умножения дробей

Сначала определи, какой случай перед тобой, а затем выбери соответствующий способ. Если в выражении есть общие множители, часто удобнее сократить их до умножения. После вычисления проверь, можно ли записать ответ в более простом виде.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите произведение ⅔ · ⅗. Нужно умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель, а затем проверить результат на сокращение.

1. Перемножаем числители: 2 · 3 = 6.
2. Перемножаем знаменатели: 3 · 5 = 15. Получаем дробь 6/15.
3. Числитель и знаменатель делятся на 3, поэтому сокращаем: 6/15 = 2/5.

Ответ: 2/5. Проверка показывает, что числители и знаменатели были перемножены отдельно, а дробь сокращена.

Задача 2. Вычислите 7/12 · 18. Натуральное число можно записать как 18/1. Чтобы не умножать большие числа сразу, сначала поищем общий множитель у 18 и 12.

1. Записываем выражение как 7/12 · 18/1.
2. Сокращаем 18 и 12 на 6: получаем 7/2 · 3/1.
3. Перемножаем оставшиеся множители: (7 · 3)/(2 · 1) = 21/2.
4. При необходимости выделяем целую часть: 21/2 = 10 ½.

Ответ: 21/2, или 10 ½. Сокращение до умножения позволило выполнить действия с меньшими числами и не изменило значение произведения.

Задача 3. Найдите 2 ¼ от 3 ⅓. Здесь нужно найти дробь от числа, то есть умножить 3 ⅓ на 2 ¼. Сначала заменим оба смешанных числа неправильными дробями.

1. Преобразуем 2 ¼: 2 · 4 + 1 = 9, значит, 2 ¼ = 9/4.
2. Преобразуем 3 ⅓: 3 · 3 + 1 = 10, значит, 3 ⅓ = 10/3.
3. Умножаем: 9/4 · 10/3 = 90/12.
4. Сокращаем 90/12 на 6 и получаем 15/2 = 7 ½.

Ответ: 7 ½. Сначала смешанные числа превратили в дроби, поэтому применили одно и то же правило умножения без отдельных действий с целыми частями.

Типичные ошибки

Иногда перемножают числитель первой дроби со знаменателем второй. Например, в ⅔ · ⅗ так можно ошибочно получить 2 · 5 сверху и 3 · 3 снизу. Причина — перепутаны места чисел; проверяй правило по парам: числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Другая ошибка — складывать числители или знаменатели вместо умножения. Возможно, правило сложения дробей вспоминается по похожей записи, но это другое действие. Перед вычислением посмотри на знак между дробями и примени именно правило умножения; в произведении числители и знаменатели перемножаются.

Нельзя сокращать слагаемые или отдельные части чисел, которые не являются множителями. Например, в сумме в числителе нельзя сократить одно слагаемое с числом в знаменателе. Сокращение допустимо только для общего множителя числителя и знаменателя; проверь, что делишь оба именно на одно и то же число.

При умножении смешанных чисел иногда сразу перемножают записанные целые части и дробные части. Так теряется часть значения каждого числа, ведь смешанное число означает сумму целой и дробной частей. Сначала переведи каждое смешанное число в неправильную дробь, а затем выполни умножение и проверь вычисления.

Связь с другими темами

Для умножения дробей нужно уметь сокращать дроби, переводить смешанные числа в неправильные и умножать натуральные числа. Эти навыки помогают выполнить вычисление и представить ответ в удобном виде. Если какое-то действие вызывает затруднение, повтори его отдельно.

Умножение дробей применяется при нахождении дроби от числа и в задачах на части величины: оно помогает узнать, сколько составляет нужная доля. Позже это правило пригодится при делении дробей и вычислениях с рациональными числами. Понимание того, как умножать и сокращать дроби, станет основой для этих тем.

Что запомнить

• Чтобы умножить дроби, перемножают их числители и отдельно знаменатели.
• Результат умножения дробей при возможности сокращают.
• Сокращать можно общие множители числителя и знаменателя.
• Натуральное число можно представить дробью со знаменателем 1.
• Перед умножением смешанные числа переводят в неправильные дроби.
• Чтобы найти дробь от числа, число умножают на эту дробь.