§10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Определения и обозначения

Общий знаменатель — знаменатель, к которому можно привести две или несколько дробей, не меняя их значений. Например, для дробей 1/3 и 1/4 общим знаменателем будет 12. Он нужен, чтобы представить доли одинакового размера и затем выполнять с ними действия.

Наименьший общий знаменатель — наименьшее из возможных общих знаменателей данных дробей. Обычно его находят как наименьшее общее кратное знаменателей. Например, для 1/6 и 1/4 это 12, а не 24. Выбор наименьшего знаменателя помогает не работать с излишне большими числами.

Дополнительный множитель — число, на которое умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы привести её к общему знаменателю. Для дроби 1/3 при общем знаменателе 12 дополнительный множитель равен 4. Он показывает, во сколько раз нужно увеличить число частей, не меняя саму дробь.

Приведение дробей к общему знаменателю — замена дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Например, 1/3 и 1/4 превращаются в 4/12 и 3/12. Эта замена нужна, чтобы складывать или вычитать доли одного и того же размера.

Как это устроено

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Поэтому 1/3 и 1/4 — не одинаковые доли: третья часть больше четверти. Если сложить числители и знаменатели напрямую, смысл дробей потеряется. Сначала нужно разделить целое на одинаковые части, чтобы можно было посчитать их количество.

Общий знаменатель можно получить, перемножив знаменатели дробей. Например, для 3 и 4 произведение равно 12, и это число делится на оба знаменателя. Но иногда подходит знаменатель меньше: для 6 и 4 наименьшее общее кратное равно 12, а произведение равно 24. Наименьший общий знаменатель удобен тем, что помогает не увеличивать числа без необходимости.

Чтобы найти дополнительный множитель, раздели общий знаменатель на знаменатель каждой дроби. Если общий знаменатель равен 12, то для дроби со знаменателем 3 множитель равен 12 : 3 = 4. На 4 нужно умножить и числитель, и знаменатель: 1/3 = 4/12. Так дробь получает нужный знаменатель, но её значение остаётся прежним.

После приведения знаменатели совпадают, значит, все доли имеют одинаковый размер. Теперь достаточно посчитать, сколько таких долей вместе или сколько останется после вычитания. Поэтому при сложении и вычитании изменяются только числители, а общий знаменатель записывают без изменений. Например, 4/12 + 3/12 = 7/12.

После вычисления проверь, можно ли сократить полученную дробь: разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число. Если числитель больше знаменателя, дробь неправильная; при необходимости её записывают смешанным числом. Например, 9/6 сокращается до 3/2, а это 1 1/2. Так ответ становится удобнее для чтения и сравнения.

Порядок сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Двигайся по строкам сверху вниз: каждый шаг готовит данные для следующего. При вычитании следи, какая дробь стоит первой, — порядок действий нельзя менять. В конце проверь, можно ли сократить ответ.

Разбор задач

Вычислите 1/3 + 1/4.

У дробей разные знаменатели, поэтому сразу складывать числители нельзя. Подберём общий знаменатель, который делится и на 3, и на 4. Удобно взять 12: это наименьшее общее кратное этих чисел.

1. Общий знаменатель — 12. Для дроби 1/3 дополнительный множитель равен 12 : 3 = 4, а для 1/4 он равен 12 : 4 = 3.
2. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на её множитель: 1/3 = 4/12, а 1/4 = 3/12.
3. Сложим числители и оставим знаменатель прежним: 4/12 + 3/12 = 7/12. Дробь 7/12 сократить нельзя.

Ответ: 7/12.

Вычислите 5/6 − 1/4 и запишите ответ в сокращённом виде.

Сначала выразим обе дроби в одинаковых долях. Наименьшее общее кратное 6 и 4 равно 12, поэтому общий знаменатель будет 12. Затем важно вычесть числитель второй дроби из числителя первой, сохраняя заданный порядок.

1. Для 5/6 дополнительный множитель равен 12 : 6 = 2, а для 1/4 — 12 : 4 = 3.
2. Приведём дроби: 5/6 = 10/12 и 1/4 = 3/12. Значения дробей не изменились, потому что каждую умножили на равную единицу.
3. Вычтем числители: 10/12 − 3/12 = 7/12. Числа 7 и 12 не имеют общего делителя больше 1, поэтому дробь уже сокращена.

Ответ: 7/12.

Вычислите 2 1/3 − 5/6.

Смешанное число удобно заменить неправильной дробью: так действие будет выполняться по единому правилу. Число 2 1/3 равно 7/3, потому что в двух целых содержатся шесть третей, а вместе с одной третью получается семь третей. Теперь можно привести обе дроби к знаменателю 6.

1. Запишем выражение как 7/3 − 5/6. Для первой дроби дополнительный множитель равен 6 : 3 = 2, для второй он равен 1.
2. Приведём дроби к общему знаменателю: 7/3 = 14/6, а 5/6 остаётся без изменения.
3. Вычтем числители: 14/6 − 5/6 = 9/6. Сократим дробь на 3: 9/6 = 3/2, или 1 1/2.

Ответ: 1 1/2.

Типичные ошибки

Складывают или вычитают знаменатели вместе с числителями. Например, записывают 1/3 + 1/4 как 2/7, хотя третьи и четверти — доли разного размера. Ошибка возникает, если воспринимать дробь как два отдельных числа, а не как количество частей целого. Проверь себя: перед действием знаменатели должны совпадать.

Умножают на дополнительный множитель только знаменатель. Тогда дробь меняет значение, потому что её числитель уже не показывает прежнее количество долей. Часто это происходит из-за того, что внимание сосредоточено только на получении общего знаменателя. Проверка простая: числитель и знаменатель каждой дроби должны быть умножены на одно и то же число.

Неверно находят дополнительный множитель. Его можно случайно найти, разделив знаменатель дроби на общий знаменатель, хотя нужно выполнить обратное действие. Например, для знаменателя 3 и общего знаменателя 12 следует вычислить 12 : 3 = 4. Проверь результат умножением: знаменатель дроби на дополнительный множитель должен дать общий знаменатель.

Забывают сократить ответ или ошибаются при вычитании числителей. После приведения знаменатели уже одинаковы, поэтому нужно вычесть второй числитель из первого, не меняя порядок. Ошибка может возникнуть из-за спешки или попытки вычесть знаменатели тоже. Проверь знак и действие на числителях, а затем выясни, делятся ли числитель и знаменатель результата на одно число.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь находить кратные чисел и их наименьшее общее кратное: так проще выбрать знаменатель. Также пригодятся сокращение дробей и умножение числителя и знаменателя на одно и то же число. Эти навыки позволяют менять запись дроби, не меняя её значения.

Приведение к общему знаменателю помогает сравнивать дроби: при одинаковых знаменателях достаточно сравнить числители. Тот же приём используют в действиях со смешанными числами и при решении уравнений с дробями. Поэтому важно не только запомнить порядок шагов, но и понимать, почему дроби сначала превращают в равные доли.

Что запомнить

• Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю.
• Для каждой дроби дополнительный множитель находят делением общего знаменателя на её знаменатель.
• На дополнительный множитель умножают и числитель, и знаменатель.
• После приведения складывают или вычитают числители, а знаменатель оставляют прежним.
• Вычитание выполняют в заданном порядке: уменьшаемое минус вычитаемое.
• Ответ по возможности сокращают.