§ 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

Определения и обозначения

Общий знаменатель дробей — число, которое делится на знаменатель каждой из дробей. Например, для дробей ⅔ и ⅝ общим знаменателем будет 24: оно делится и на 3, и на 8. Такой знаменатель позволяет записать обе дроби в одинаковом виде снизу и сравнить их числители.

Наименьший общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Для знаменателей 6 и 8 это число 24: оно делится на оба числа, а меньшего положительного общего кратного нет. С ним обычно легче считать, потому что числители после преобразования получаются меньше.

Приведение дроби к новому знаменателю — замена дроби равной ей дробью с заданным знаменателем. Например, ½ можно представить как 3/6, если умножить числитель и знаменатель на 3. Это нужно, чтобы сделать знаменатели нескольких дробей одинаковыми, не меняя их значений.

Сравнение дробей — определение того, какая из дробей больше, меньше или равна другой. Результат можно записать знаками >, < или =. Чтобы выбрать знак верно, сначала смотрят на знаменатели и при необходимости приводят дроби к общему знаменателю.

Как это устроено

Дробь не меняет значения, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. Это следует из того, что мы фактически умножаем или делим дробь на число, равное 1: например, 3/3 = 1. Поэтому можно менять знаменатель, сохраняя ту же часть целого, и получать равные дроби.

Чтобы привести несколько дробей к общему знаменателю, сначала выбирают число, кратное каждому из знаменателей. Затем для каждой дроби находят дополнительный множитель: общий знаменатель делят на её исходный знаменатель. На этот множитель умножают и числитель, и знаменатель, потому что изменение только одной части дроби нарушило бы равенство.

Наименьшее общее кратное знаменателей обычно удобно брать потому, что оно не больше других общих знаменателей. Значит, при приведении дробей числители не приходится умножать на слишком большие числа. Например, для знаменателей 4 и 6 можно взять 12, а не 24: оба числа делятся на 4 и на 6, но вычисления с 12 проще.

Когда знаменатели одинаковы, дробные части разделены на одинаковое число равных долей. Поэтому достаточно сравнить, сколько таких долей взято: у дроби с большим числителем значение больше. Например, 5/9 > 2/9, поскольку пятых долей девятого размера взято больше, чем двух.

Если знаменатели разные, сравнение только по числителям не работает: доли могут иметь разный размер. Приведение к общему знаменателю делает доли одинаковыми, и после этого можно сравнить их количество. Например, из ⅔ и ¾ нельзя выбрать большую дробь только по числам 2 и 3, зато после приведения получится сравнение 8/12 и 9/12.

Способы сравнения дробей

Сначала найди в таблице ситуацию, которая подходит к твоим дробям. Если знаменатели разные, преобразуй обе дроби и следи, чтобы каждой исходной дроби соответствовал её новый числитель. При одинаковых числителях можно сразу воспользоваться правилом о знаменателях.

Разбор задач

Привести дроби 2/3 и 5/8 к общему знаменателю

Нужно записать дроби с одинаковыми знаменателями, не меняя их значений. В качестве общего знаменателя удобно взять наименьшее общее кратное чисел 3 и 8 — это 24. Для каждой дроби найдём, во сколько раз её знаменатель меньше 24, и применим тот же множитель к числителю.

1. Для знаменателя 3 дополнительный множитель равен 24 : 3 = 8.
2. Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 8: 2/3 = 16/24.
3. Для знаменателя 8 множитель равен 24 : 8 = 3. Умножаем обе части второй дроби на 3: 5/8 = 15/24.

Ответ: 2/3 = 16/24, 5/8 = 15/24. Обе дроби приведены к общему знаменателю 24.

Сравнить дроби 5/12 и 7/18

Знаменатели разные, поэтому числители 5 и 7 сами по себе не показывают, какая дробь больше. Найдём наименьшее общее кратное 12 и 18: это 36. Затем преобразуем дроби, сохраняя соответствие между каждым исходным числителем и его знаменателем.

1. Для первой дроби дополнительный множитель равен 36 : 12 = 3, поэтому 5/12 = 15/36.
2. Для второй дроби множитель равен 36 : 18 = 2, поэтому 7/18 = 14/36.
3. Сравниваем числители: 15 > 14. Значит, первой дроби соответствует большее значение.

Ответ: 5/12 > 7/18. Проверить вывод можно и по полученным равным дробям: 15/36 больше 14/36.

Расположить по возрастанию дроби 3/4, 5/6 и 7/9

По возрастанию — значит от самой маленькой дроби к самой большой. У всех трёх дробей разные знаменатели, поэтому сначала приведём их к общему. Наименьшее общее кратное чисел 4, 6 и 9 равно 36; теперь сравнение можно провести по числителям.

1. Для 3/4 дополнительный множитель равен 36 : 4 = 9: получаем 27/36.
2. Для 5/6 множитель равен 36 : 6 = 6: получаем 30/36.
3. Для 7/9 множитель равен 36 : 9 = 4: получаем 28/36. Сравниваем числители: 27 < 28 < 30.

Ответ: 3/4, 7/9, 5/6. Важно записать дроби в том же порядке, что и соответствующие им числители 27, 28 и 30.

Типичные ошибки

Если умножить знаменатель на число, но не умножить на него числитель, получится другая дробь. Так делают, когда хотят быстро изменить знаменатель и забывают, что значение сохраняется только при одинаковом изменении обеих частей. Проверь себя: отношение числителя к знаменателю должно оставаться прежним; например, 2/3 = 8/12, а не 2/12.

Сравнивать дроби с разными знаменателями только по числителям нельзя: числители относятся к долям разного размера. Такая ошибка возникает, когда правило для одинаковых знаменателей применяют ко всем дробям подряд. Перед сравнением проверь знаменатели: если они разные, приведи дроби к общему знаменателю или воспользуйся подходящим отдельным правилом.

Не обязательно перемножать знаменатели, если можно выбрать меньшее общее кратное. Например, для 4 и 6 произведение равно 24, но наименьшее общее кратное — 12. Ошибку допускают, считая, что общий знаменатель должен получиться именно умножением; проверь делимость выбранного числа на каждый знаменатель и выбери удобное кратное.

После приведения к общему знаменателю можно перепутать числители и сравнить не те дроби. Это происходит, если считать новые числители отдельно и не записывать равные дроби целиком. Для проверки поставь рядом каждую исходную дробь и её преобразование, например 5/12 = 15/36; затем сравнивай только соответствующие числители.

Связь с другими темами

Для приведения дробей нужны равные дроби: числитель и знаменатель умножают или делят на одно и то же ненулевое число. Поэтому полезно уметь выполнять умножение и деление и понимать, почему дробь при таком преобразовании не меняется. Эти действия дают способ получить знаменатель, который нужен для сравнения.

Выбор общего знаменателя связан с делителями и кратными натуральных чисел. Чтобы найти удобный знаменатель, ищут общее кратное, а наименьшее общее кратное помогает уменьшить числа в вычислениях. Полезно заранее проверить, что выбранное число делится на все исходные знаменатели.

Приведение к общему знаменателю понадобится при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями. Сначала дроби превращают в равные дроби с одинаковым знаменателем, а затем выполняют действие с числителями. Поэтому навык сравнения и преобразования дробей помогает подготовиться к следующим темам.

Что запомнить

• При умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число значение дроби не меняется.
• Общий знаменатель должен делиться на каждый из знаменателей дробей.
• Наименьший общий знаменатель удобно находить с помощью наименьшего общего кратного.
• Дроби с одинаковыми знаменателями сравнивают по числителям.
• Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю.
• При одинаковых числителях из положительных дробей больше та, у которой знаменатель меньше.