§ 3. Умножение дробей

Определения и обозначения

Умножение дробей — действие, при котором числитель произведения получают умножением числителей, а знаменатель — умножением знаменателей. Например, a/b · c/d = ac/bd. Это правило позволяет выполнять действие с любыми обыкновенными дробями.

Произведение дробей — дробь, числитель которой равен произведению числителей множителей, а знаменатель — произведению их знаменателей. Множители — это числа, которые перемножают. Такой результат показывает, сколько частей получилось после умножения.

Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число. Значение дроби при этом не меняется, потому что числитель и знаменатель уменьшаются во столько же раз. При умножении сокращать удобно до перемножения.

Смешанное число состоит из целой части и правильной дроби, например 2 1/3. Перед умножением его переводят в неправильную дробь. Так все части числа записываются одной дробью, и к ним можно применить общее правило.

Как это устроено

Представим дробь как часть целого. Найти одну треть от двух пятых — значит разделить уже взятую часть 2/5 на три равные части. Каждая из этих частей будет равна 2/15, поэтому 1/3 · 2/5 = 2/15. Умножение на дробь часто означает нахождение такой доли от числа.

Почему перемножаются знаменатели? Сначала целое разделили на 5 равных частей, а затем каждую такую часть — ещё на 3 равные части. Всего получилось 5 · 3 = 15 одинаковых маленьких частей. Числители тоже перемножаются: из двух пятых берём одну треть, то есть получаем 1 · 2 взятых частей из 15.

Основной порядок вычисления простой: сначала перемножают числители, затем отдельно перемножают знаменатели. После этого проверяют, можно ли сократить полученную дробь. Например, 2/3 · 3/5 = 6/15 = 2/5. Сокращение в конце помогает записать ответ в более простом виде.

Предварительное сокращение экономит вычисления. Если числитель одной дроби и знаменатель другой имеют общий множитель, его можно разделить в обоих местах ещё до умножения. Например, в 7/12 · 18/35 число 7 сокращается с 35, а 18 — с 12. Значение произведения не меняется, потому что сокращение заменяет дробь равной ей дробью.

Смешанные числа нельзя умножать, просто перемножая отдельно целые и дробные части. Сначала каждое из них переводят в неправильную дробь, а затем используют сокращение и правило умножения. Если в конце неправильная дробь, из неё выделяют целую часть. Например, 15/8 = 1 7/8.

Как умножать дроби и смешанные числа

В таблице сначала найдите подходящий случай, затем выполните действие по правилу. В последнем столбце показан образец записи. Перед вычислением полезно проверить, нет ли общих множителей для предварительного сокращения.

Разбор задач

Задача 1. В03^?ычислите 2/3 · 3/5.

Нужно перемножить две обыкновенные дроби. Сначала найдём числитель и знаменатель произведения. Затем проверим, сокращается ли полученная дробь.

1. Перемножаем числители: 2 · 3 = 6.
2. Перемножаем знаменатели: 3 · 5 = 15.
3. Получаем 6/15 и сокращаем на 3: 6/15 = 2/5.

Ответ: 2/5. Сокращение сделало результат проще, но его значение не изменилось.

Задача 2. Вычислите 7/12 · 18/35.

Большие числа необязательно перемножать сразу. Сначала ищем общие множители по диагонали: 7 и 35 делятся на 7, а 18 и 12 — на 6. После сокращения вычисления становятся короче.

1. Сокращаем 7 и 35 на 7: получаем 1 и 5.
2. Сокращаем 18 и 12 на 6: получаем 3 и 2.
3. Перемножаем оставшиеся числа: 1 · 3/(2 · 5) = 3/10.

Ответ: 3/10. Проверка прямым умножением даёт 126/420, а сокращение этой дроби также приводит к 3/10.

Задача 3. Вычислите 1 2/3 · 2 1/4.

Оба множителя являются смешанными числами, поэтому сначала преобразуем их. Для первого числа умножаем целую часть на 3 и прибавляем 2, а для второго умножаем 2 на 4 и прибавляем 1. Только после этого выполняем умножение дробей.

1. 1 2/3 = (1 · 3 + 2)/3 = 5/3.
2. 2 1/4 = (2 · 4 + 1)/4 = 9/4.
3. Сокращаем 5/3 · 9/4: числа 9 и 3 делим на 3, получаем 5/1 · 3/4.
4. Перемножаем: 15/4 = 3 3/4.

Ответ: 3 3/4. Неправильную дробь в конце перевели обратно в смешанное число, выделив целую часть.

Типичные ошибки

Иногда складывают числители и знаменатели вместо умножения: a/b · c/d ошибочно превращают в (a + c)/(b + d). Так переносят правило сложения дробей на другое действие. Проверьте знак действия и вспомните: при умножении работают с числителями отдельно и со знаменателями отдельно.

Другая ошибка — перемножить числитель одной дроби со знаменателем другой. Она появляется, когда путают расположение чисел в записи дроби. Запишите сначала общую схему a/b · c/d = ac/bd и убедитесь, что числители образовали одну пару, а знаменатели — другую.

Нельзя сокращать слагаемые или любые числа, которые не являются множителями. Сокращение допустимо только у общего множителя числителя и знаменателя. Чтобы проверить себя, разложите выражение на множители и ищите одинаковое число сверху и снизу.

Смешанные числа нельзя перемножать по отдельности: целые части с целыми, а дробные с дробными. Такой способ не учитывает все произведения, которые возникают при раскрытии скобок. Сначала переведите каждое смешанное число в неправильную дробь и только потом выполняйте действие.

Связь с другими темами

Перед умножением дробей нужны знания о числителе, знаменателе, равных и сокращаемых дробях. Также пригодятся таблица умножения и умение делить числа. Без этих навыков трудно быстро выполнять сокращение и проверять ответ.

Умножение дробей используется при нахождении дроби от числа. Оно также встречается в задачах на пропорции, где нужно сравнивать отношения и находить неизвестный член.

Эта тема связана с умножением десятичных дробей: общий смысл действия сохраняется, меняется только запись чисел. Позже те же идеи понадобятся при действиях с рациональными числами, включая отрицательные дроби.

Что запомнить

• При умножении дробей числители перемножают отдельно от знаменателей.
• Результат умножения дробей можно сократить.
• Сокращать удобно до перемножения чисел.
• Натуральное число можно представить дробью со знаменателем 1.
• Перед умножением смешанные числа переводят в неправильные дроби.
• Произведение дробей не обязано быть меньше каждого множителя.