35. Умножение дробей

Определения и обозначения

Умножение дробей — действие, при котором числители перемножают между собой, а знаменатели — между собой. Например, при умножении 2/3 на 4/5 числитель результата получится умножением 2 на 4, а знаменатель — умножением 3 на 5. Это правило помогает находить произведение двух частей целого и записывать действие одной короткой записью.

Произведение дробей — результат умножения дробей; его числитель равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. В записи 2/3 · 4/5 произведением называют весь ответ, а не только его числитель. Это слово нужно, чтобы отличать результат умножения от самих дробей, которые перемножают.

Умножение дроби на натуральное число — умножение числителя дроби на это число при сохранении знаменателя. Например, 3/7 · 2 = 6/7: две доли размером 3/7 вместе составляют 6/7. Такое правило удобно, когда нужно найти несколько одинаковых дробных частей или вычислить дробь от натурального числа.

Как это устроено

Представь прямоугольник, разделённый на 3 равные части по ширине и на 5 равных частей по длине. Всего получится 15 маленьких прямоугольников, потому что 3 · 5 = 15. Если выделить 2/3 ширины и 1/5 длины, общая выделенная область займёт 2 · 1 таких частей из 15, то есть 2/15 прямоугольника. Так видно, почему при умножении дробей перемножают и числители, и знаменатели: одна дробь задаёт часть по одному направлению, другая — по другому.

Чтобы умножить обыкновенные дроби, сначала перемножь числители, затем перемножь знаменатели. Например, для 2/3 · 3/5 получаются 6/15 и 6/15 = 2/5 после сокращения. Сокращение — это деление числителя и знаменателя на одно и то же число, поэтому значение дроби не меняется. Проверь, можно ли разделить числитель и знаменатель ответа на общий делитель.

Натуральное число можно представить дробью со знаменателем 1: например, 4 = 4/1. Поэтому 2/3 · 4 можно выполнить как умножение 2/3 · 4/1: перемножить числители и знаменатели, получив 8/3. Знаменатель 1 не меняет знаменатель дроби, а числитель умножается на натуральное число. Эта запись показывает, что для такого случая действует то же общее правило, а отдельное правило — его короткая форма.

Сокращать множители до умножения часто проще, чем сначала получать большие числа. Например, в 2/9 · 3/4 можно сократить 2 и 4 на 2, а 3 и 9 на 3; останется 1/3 · 1/2 = 1/6. Это допустимо, потому что после перемножения сокращаемые числа оказались бы множителями числителя и знаменателя одной дроби. Сначала убедись, что выбранные числа — именно множители, а затем сокращай их на общий делитель.

При умножении можно менять множители местами и объединять их в удобные группы. Например, 1/2 · 3 · 2 можно посчитать как 1/2 · 2 · 3: сначала 1/2 · 2 = 1, затем 1 · 3 = 3. Такие перестановки и группировки помогают выбирать короткий путь вычислений. Умножение на 1 не меняет число, потому что при умножении любой дроби на 1 её числитель и знаменатель остаются прежними.

Правила умножения дробей

В таблице собраны основные случаи умножения. Сначала найди подходящую строку, а затем выполни действие и проверь результат. Для смешанных чисел используй строку о преобразовании: их нужно перевести в неправильные дроби до умножения.

Разбор задач

Вычислим 2/3 · 3/5. Здесь обе записи — обыкновенные дроби, поэтому можно сразу применить правило умножения дробей. После перемножения проверим, есть ли у получившейся дроби общий делитель числителя и знаменателя. Это позволит записать ответ в более простом виде.

1. Перемножаем числители: 2 · 3 = 6. Перемножаем знаменатели: 3 · 5 = 15. Получаем дробь 6/15.
2. Сокращаем числитель и знаменатель на 3: 6 : 3 = 2, 15 : 3 = 5. Получаем 2/5.

Ответ: 2/5.

Найдём 4/7 от 21. Слова «4/7 от 21» означают, что число 21 нужно умножить на дробь 4/7. Запишем 21 как дробь 21/1 и посмотрим, можно ли упростить вычисление до перемножения. Так мы избежим больших чисел и сразу увидим, сколько составляет нужная часть.

1. Записываем действие: 4/7 · 21/1. Число 21 и знаменатель 7 — множители, поэтому их можно сократить на 7.
2. После сокращения получаем 4/1 · 3/1. Перемножаем числители: 4 · 3 = 12, а знаменатели остаются равны 1.

Ответ: 12.

Вычислим 1 1/2 · 2 2/3. Смешанные числа нельзя перемножать по правилу для числителей и знаменателей прямо в таком виде. Сначала представим каждое число одной неправильной дробью, а затем проверим множители на возможность сокращения. Такой порядок уменьшает риск ошибки и упрощает счёт.

1. Преобразуем первое число: 1 · 2 + 1 = 3, значит, 1 1/2 = 3/2. Второе: 2 · 3 + 2 = 8, значит, 2 2/3 = 8/3.
2. Записываем произведение: 3/2 · 8/3. Сокращаем 3 в числителе первой дроби и 3 в знаменателе второй, а 8 и 2 сокращаем на 2.
3. Остаётся 1/1 · 4/1 = 4. Можно также проверить умножением несокращённых чисел: 24/6 = 4.

Ответ: 4.

Типичные ошибки

Иногда перемножают числители, но складывают знаменатели: например, ошибочно получают для 1/2 · 1/3 дробь 1/5. Так происходит, если правило умножения смешивают с правилами других действий. При умножении нужно умножить и числители, и знаменатели: правильный результат здесь — 1/6. Проверь, что обе части дроби получены умножением.

Другая ошибка — сокращать слагаемые или части чисел, а не множители. Это часто случается, когда в записи есть суммы и хочется упростить её до вычисления. Сокращать можно только общий множитель числителя и знаменателя, например в дроби (2 · 3)/(2 · 5) можно сократить двойки. Если числа складываются, сначала нельзя зачёркивать отдельные слагаемые.

При умножении смешанных чисел можно забыть сначала превратить их в неправильные дроби. Тогда правило применяют к записи, в которой целая часть и дробная часть ещё не объединены, и ответ получается неверным. Перепиши каждое смешанное число через действие «целая часть · знаменатель + числитель». Затем поставь полученное число в числитель дроби и сохрани знаменатель.

Ещё две ошибки — оставить результат несокращённым или не преобразовать неправильную дробь, когда требуется смешанное число. Их допускают, если остановиться сразу после умножения числителей и знаменателей. Сначала проверь, есть ли общий делитель у числителя и знаменателя, и сократи дробь. Если она неправильная, раздели числитель на знаменатель и при необходимости запиши ответ смешанным числом.

Связь с другими темами

Для умножения дробей нужно знать, где у дроби числитель и знаменатель, уметь сокращать дроби и превращать смешанные числа в неправильные. Умножение помогает находить дробь от числа: например, чтобы найти 3/5 от 20, вычисляют 3/5 · 20. Поэтому правило встречается в задачах о частях величин и связанных с ними измерениях.

Позже похожие действия пригодятся при умножении десятичных дробей и при вычислениях с рациональными числами. Рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби. Понимание того, как перемножаются дроби и сокращаются множители, станет основой для этих следующих тем.

Что запомнить

• Чтобы умножить дроби, перемножь числители и отдельно знаменатели.
• Сокращай общие множители до умножения или после него.
• Натуральное число можно записать дробью со знаменателем 1.
• Чтобы умножить смешанные числа, сначала переведи их в неправильные дроби.
• При умножении можно менять множители местами и группировать их.
• Умножение на 1 не изменяет число.