"Математика", Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.
Деление дробей помогает находить, сколько раз одно дробное число содержится в другом. Главное правило: чтобы разделить одну дробь на другую, первую оставляют без изменения, знак деления заменяют умножением, а вторую дробь переворачивают. Делитель не может быть равен нулю. Перед вычислением смешанные числа переводят в неправильные дроби, а результат удобно получать с предварительным сокращением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление дробей — действие, при котором по делимому и делителю находят частное. Например, в записи 2/3 : 4/5 число 2/3 — делимое, а 4/5 — делитель. Это действие связано с умножением на обратное число, поэтому деление дробей можно заменить умножением.
Обратные числа — два числа, произведение которых равно 1. Для ненулевой дроби a/b обратной будет дробь b/a: при умножении получится ab/ba = 1. Это понятие нужно, чтобы правильно заменить деление умножением.
Частное дробей — результат деления одной дроби на другую. В записи a/b : c/d частное показывает, сколько раз делитель c/d содержится в делимом a/b. Делить можно только на ненулевую дробь, потому что обратного числа для нуля не существует.
Правило деления дроби на дробь основано на свойстве обратных чисел. Если умножить делитель на обратную ему дробь, получится 1, а умножение на 1 не меняет число. Поэтому действие a/b : c/d заменяют действием a/b · d/c, если c/d не равно нулю.
Чтобы найти частное, первую дробь оставляют без изменения. Затем знак деления заменяют знаком умножения, а у второй дроби меняют местами числитель и знаменатель. Переворачивать первую дробь нельзя: она является делимым, а обратной делают именно дробь-делитель.
Нулю делитель быть не может, потому что деление на ноль не имеет смысла. Нельзя найти такое число, которое при умножении на 0 даст ненулевое делимое. Поэтому перед вычислением проверяют, что дробь после знака деления не равна нулю.
После замены деления умножением удобно выполнить сокращение. Сокращают общий множитель числителя первой дроби со знаменателем второй, а также знаменателя первой дроби с числителем второй. Затем перемножают оставшиеся числители между собой и знаменатели между собой.
Смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель, прибавляют числитель и записывают результат над прежним знаменателем. Только после такого преобразования применяют правило деления дробей.
В таблице собраны основные случаи, которые встречаются при делении. Сначала найдите подходящую строку, затем выполните указанное преобразование. В последнем столбце проверьте условие, чтобы не допустить ошибку.
| Случай | Преобразование | Что проверить |
|---|---|---|
| Дробь на дробь | a/b : c/d = a/b · d/c | c/d ≠ 0 |
| Натуральное число на дробь | n : c/d = n/1 · d/c | c/d ≠ 0 |
| Дробь на натуральное число | a/b : n/1 = a/b · 1/n | n ≠ 0 |
| Делитель не равен нулю | Нулевой делитель не используют | Знаменатель дроби также не равен 0 |
| Смешанные числа перед делением преобразованы в неправильные дроби | 2 1/4 = 9/4, 1 1/2 = 3/2 | Сначала преобразовать оба числа |
Здесь делитель — дробь 4/5, и она не равна нулю. Поэтому деление можно заменить умножением на обратную дробь. После этого результат сокращаем, чтобы получить ответ в простом виде.
Ответ: 5/6.
Натуральное число 6 удобно записать дробью 6/1. Теперь обе части записи являются дробями, поэтому можно применить общее правило. Обратной для 6/1 будет дробь 1/6.
Ответ: 1/14.
Смешанные числа нельзя сразу делить по отдельности: сначала их переводят в неправильные дроби. Получаем 9/4 и 3/2, причём вторая дробь не равна нулю. Затем сокращаем удобные множители до умножения.
Ответ: 1 1/2.
Переворачивают первую дробь. Так происходит, если ученик забывает, какая дробь является делителем. Проверьте себя: без изменения должна остаться дробь слева от знака деления.
Меняют только знак деления. Запись превращают в умножение, но вторую дробь не переворачивают. После замены знака обязательно найдите обратную дробь делителя.
Делят на ноль. Нулевой делитель иногда не замечают среди вычислений. До начала решения убедитесь, что дробь справа от знака деления не равна нулю.
Неверно сокращают дроби. Нельзя делить числители и знаменатели по отдельности или сокращать слагаемые. Сначала получите произведение дробей, а затем сокращайте только общие множители числителя и знаменателя.
Для деления дробей нужно уметь находить обратное число, сокращать дроби и умножать обыкновенные дроби. Эти навыки помогают выполнить каждый шаг без лишних действий.
Деление дробей встречается в задачах на нахождение неизвестного множителя. Оно также понадобится при дальнейших действиях с рациональными числами, то есть с положительными и отрицательными целыми числами и дробями.
Почему при делении дробей нужно переворачивать именно вторую дробь?
Вторая дробь является делителем, поэтому её заменяют обратным числом. Произведение делителя и обратной ему дроби равно 1, и деление превращается в умножение.
Можно ли делить дробь на ноль?
Нет, деление на ноль не определено. Поэтому дробь, стоящая после знака деления, должна быть ненулевой.
Как разделить дробь на натуральное число?
Натуральное число записывают как дробь со знаменателем 1. Затем применяют обычное правило: первую дробь умножают на дробь, обратную делителю.
Что делать со смешанными числами перед делением?
Сначала каждое смешанное число переводят в неправильную дробь. После этого выполняют деление дробей по правилу.
Когда можно сокращать дроби при делении?
После замены деления умножением можно сокращать общие множители числителя и знаменателя. Сокращают только множители, а не отдельные части суммы или разности.
36. Деление дробей
