9.5. Деление дробей

Определения и обозначения

Деление дробей — это нахождение частного, то есть результата деления одного числа на другое. В записи a/b : c/d число a/b — делимое, c/d — делитель, а результат действия — частное. Деление нужно, когда требуется узнать, сколько раз одна величина содержится в другой, или найти неизвестный множитель. Делитель не должен быть равен нулю.

Обратным данному числу называют такое число, произведение которого с данным числом равно 1. Например, для дроби 2/3 обратное число — 3/2, потому что 2/3 · 3/2 = 1. Это понятие позволяет заменить деление умножением и выполнять действие по знакомому правилу умножения дробей. Обратное число существует только для числа, не равного нулю.

Взаимно обратными называют два числа, произведение которых равно 1; например, 4/7 и 7/4. Каждое из них является обратным другому. Для нуля такого числа нет: при умножении нуля на любое число получится ноль, а не 1. Поэтому делить на ноль нельзя, а искать обратное нулю бессмысленно.

Как это устроено

Частное связано с умножением: если число x разделили на число b и получили a, то a · b = x. Значит, частное — это такое число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Например, если 6 : 2 = 3, то проверка выглядит так: 3 · 2 = 6. Эта связь помогает понять правило деления, а также проверить готовый ответ.

При делении на дробь мы ищем число, которое при умножении на делитель даст делимое. Чтобы отменить умножение на делитель, умножают на число, обратное ему: произведение делителя и обратного числа равно 1. Поэтому деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь. Переворачивают именно делитель, ведь именно его действие нужно отменить.

Чтобы найти обратную дробь, меняют местами её числитель и знаменатель: для 3/8 обратная дробь — 8/3. Числитель и знаменатель исходной дроби не могут быть нулём одновременно, потому что знаменатель дроби не равен нулю, а дробь с нулевым числителем равна нулю и обратного числа не имеет. Если исходная дробь не равна нулю, то после перестановки её числитель и знаменатель остаются ненулевыми. Так получается дробь, произведение которой с исходной равно 1.

Дробь на дробь делят, умножая делимое на обратную дробь, а затем выполняют умножение и, если возможно, сокращают результат. Для целого числа на дробь целое число сначала записывают как дробь со знаменателем 1: например, 5 = 5/1. При делении дроби на целое число это число тоже можно представить дробью со знаменателем 1, после чего перевернуть дробь-делитель. Такая запись позволяет применять одно правило во всех этих случаях.

Перед делением смешанные числа превращают в неправильные дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель дробной части и прибавляют числитель; полученную сумму записывают в числитель, а знаменатель оставляют прежним. Затем делят неправильные дроби по общему правилу и сокращают ответ, если это возможно. Если пропустить первый шаг, правило деления будет применено не к тем дробям.

Деление дробей: как выполнить действие

Найди в первом столбце нужный случай, затем перепиши действие по образцу из второго столбца. Во всех случаях переворачивай делитель и умножай, а не дели отдельно числители и знаменатели. В конце проверь, можно ли сократить полученную дробь.

Разбор задач

Вычислите 2/3 : 1/6.

1. Определяем делитель: это 1/6, поэтому обратную дробь нужно составить именно из него. Меняем местами числитель и знаменатель и получаем 6/1. Делимое 2/3 оставляем без изменений.

2. Заменяем деление умножением на обратную дробь: 2/3 : 1/6 = 2/3 · 6/1. Теперь умножаем числители между собой и знаменатели между собой. Получаем 12/3.

3. Сокращаем дробь 12/3 на 3 и получаем 4. Проверим ответ: 4 · 1/6 = 4/6 = 2/3, значит, при умножении частного на делитель получается делимое. Ответ: 4.

Вычислите 5 : 2/3.

1. В записи целое число 5 — делимое, а дробь 2/3 — делитель. Представляем целое число дробью 5/1, чтобы применить правило деления дробей. Обратной к 2/3 будет дробь 3/2.

2. Заменяем деление умножением: 5/1 : 2/3 = 5/1 · 3/2. Перемножаем числители и знаменатели: 5 · 3 = 15, а 1 · 2 = 2. Получаем неправильную дробь 15/2.

3. Если нужно записать ответ смешанным числом, делим 15 на 2: получаем 7 и остаток 1, значит, 15/2 = 7 1/2. Ответ: 15/2, или 7 1/2.

Вычислите 1 1/2 : 2 1/4.

1. Сначала переводим смешанные числа в неправильные дроби. Для 1 1/2 получаем (1 · 2 + 1)/2 = 3/2, а для 2 1/4 — (2 · 4 + 1)/4 = 9/4. Теперь можно выполнить деление дробей.

2. Делитель равен 9/4, его обратная дробь — 4/9. Заменяем деление умножением: 3/2 : 9/4 = 3/2 · 4/9. Перед умножением удобно сократить: 3 и 9 делятся на 3, а 4 и 2 — на 2.

3. После сокращения получаем 1 · 2/(1 · 3) = 2/3. Проверка: 2/3 · 2 1/4 = 2/3 · 9/4 = 18/12 = 3/2, то есть исходное делимое. Ответ: 2/3.

Типичные ошибки

Иногда переворачивают делимое, хотя обратную дробь нужно брать для делителя. Такое происходит, если запомнить слово «перевернуть», но не определить, какую дробь надо менять. Перед вычислением подпиши делимое и делитель, а затем проверь, что во второй множитель превратился именно делитель. Проверку ответа можно сделать умножением частного на делитель.

Нельзя делить числители друг на друга и знаменатели друг на друга вместо применения правила. Например, при делении дробей сначала умножают делимое на обратную дробь, а уже после этого выполняют умножение. Ошибку допускают, перенося на деление привычные действия с дробями. Запиши промежуточную строку с умножением — по ней легко проверить порядок действий.

Смешанные числа нельзя сразу делить, как будто их целые и дробные части являются отдельными числами. Из-за этого правило применяют не к самим числам, а к их частям, и ответ выходит неверным. Сначала каждое смешанное число переведи в неправильную дробь. Проверь преобразование умножением целой части на знаменатель и прибавлением числителя.

Деление на ноль и поиск обратного нулю невозможны. Ноль умножить на любое число — значит получить ноль, поэтому произведение не может стать равным 1. Ошибка возникает, когда не проверяют, равен ли делитель нулю, или пытаются перевернуть дробь с нулевым числителем. Перед действием проверь делитель: он должен быть отличен от нуля.

Связь с другими темами

Чтобы делить дроби, нужно уметь сокращать их и умножать дроби: после замены деления умножением выполняют именно это действие. Ещё важно представлять целое число дробью со знаменателем 1, например 4 = 4/1. Эти умения помогают применять одно и то же правило к разным видам чисел. Если вычисления получаются громоздкими, попробуй сократить дроби до умножения.

Деление помогает находить неизвестный множитель: если произведение и один из множителей известны, второй находят делением. Например, из равенства x · 2/3 = 4 получаем x = 4 : 2/3. При изучении рациональных чисел правило деления дробей пригодится и для действий с отрицательными числами. Здесь важно сначала освоить порядок действий с обычными дробями.

Что запомнить

• Деление на число заменяют умножением на обратное ему число.
• Обратную дробь получают, меняя местами числитель и знаменатель.
• Обратное число существует только для ненулевого числа.
• При делении дробей переворачивают делитель, а не делимое.
• Смешанные числа перед делением переводят в неправильные дроби.
• После вычислений проверьте, можно ли сократить результат.