9.6. Нахождение части целого и целого по его части

Определения и обозначения

Найти часть целого — значит определить величину, которая соответствует заданной дроби от всего числа. Например, найти 3/8 от 40 — узнать, сколько составляют три восьмых от 40. Это нужно, чтобы вычислять долю расстояния, количества предметов или времени.

Найти целое по его части — значит восстановить исходную величину, когда известна одна из её дробных частей. Например, если 2/5 числа равны 18, требуется узнать всё число. Такое действие используют, когда известна часть запаса, пути или суммы, а начальное значение неизвестно.

Дробь показывает, на сколько равных частей разделили целое и сколько таких частей взяли. В дроби a/b число b называют знаменателем: он показывает количество равных долей, а число a — числителем: он показывает, сколько долей рассматривают. Благодаря этому по записи дроби можно понять, какое действие выполнять.

Выражение «дробь от числа» означает величину, полученную при нахождении указанной части данного числа. Например, 1/4 от 20 — это 5, потому что 20 разделили на четыре равные доли. Такой результат является частью исходного числа, а не новым целым без связи с ним.

Как это устроено

Чтобы найти одну долю целого, его делят на знаменатель. Например, при делении 40 на 8 число 40 распределяется между восемью равными долями, и каждая доля равна 5. Поэтому знаменатель связан именно с первым делением: он показывает, на сколько частей разделили целое.

Если нужна не одна, а несколько долей, найденную одну долю умножают на числитель. Три восьмых состоят из трёх одинаковых долей, значит, после вычисления 40 : 8 нужно взять три раза по 5. Так появляется правило: число разделить на знаменатель и умножить на числитель.

Например, найдём 3/8 от 40: 40 : 8 · 3 = 5 · 3 = 15. Сначала мы узнали размер одной восьмой, затем собрали из трёх таких частей нужную дробь. В общем виде дробь a/b от числа N находят так: N : b · a.

Обратное действие нужно, когда известна дробная часть, а целое потеряно. Если 2/5 числа равны 18, то 18 — это две пятых, поэтому сначала можно разделить 18 на 2 и получить одну пятую, а затем умножить результат на 5. Короткая запись того же действия: 18 : 2/5 = 18 · 5/2.

Ответ полезно проверять по смыслу, а не только по вычислениям. Если дробь меньше единицы, найденная часть должна быть меньше целого, потому что взяли не все доли. Для проверки можно умножить найденное целое на заданную дробь и убедиться, что получилась известная часть.

Как найти дробную часть числа и целое по его части

Сначала определите, что дано в условии: целое или его часть. Если дано целое, применяйте первую строку таблицы, а если известна дробная часть — вторую. После вычисления проверьте результат обратным действием.

В записи с дробью деление на дробь можно заменить умножением на обратную дробь. Например, разделить 18 на 2/5 — значит умножить 18 на 5/2. Но рассуждение через одну долю часто понятнее и помогает не перепутать действия.

Разбор задач

Задача 1. Найти 3/8 от 40

Нужно определить три равные доли из восьми, на которые мысленно разделено число 40. Сначала найдём одну восьмую, затем возьмём три такие доли. Это позволяет увидеть смысл каждого действия.

1. Найдём одну восьмую: 40 : 8 = 5.
2. Найдём три восьмых: 5 · 3 = 15.

Ответ: 15. Проверка: 15 — это три раза по 5, а 5 составляет одну восьмую от 40.

Задача 2. Найти число, если 2/5 этого числа равны 18

Число 18 представляет две пятых искомого числа. Сначала определим, сколько приходится на одну пятую, разделив известные две доли на 2. Затем восстановим пять таких долей, потому что именно пять долей составляют целое.

1. Найдём одну пятую: 18 : 2 = 9.
2. Найдём целое: 9 · 5 = 45.

Ответ: 45. Проверка: 45 : 5 · 2 = 9 · 2 = 18, значит, две пятых действительно равны 18.

Задача 3. Карандаши в коробке

В коробке осталось 24 карандаша — это 3/7 всех карандашей. Известны три доли, а нужно восстановить семь долей, составляющих всё количество. Поэтому сначала найдём одну седьмую, а потом умножим её на 7.

1. Найдём одну седьмую: 24 : 3 = 8 карандашей.
2. Найдём все семь долей: 8 · 7 = 56 карандашей.

Ответ: сначала в коробке было 56 карандашей. Проверка: 56 : 7 · 3 = 8 · 3 = 24, что совпадает с условием.

Типичные ошибки

При нахождении дроби от числа иногда делят на числитель, а не на знаменатель. Так происходит, когда путают число взятых долей с числом всех долей. Проверьте себя вопросом: на сколько равных частей разделили целое — именно это число должно быть делителем.

После деления иногда забывают умножить результат на числитель. Тогда находят только одну долю, хотя требуется несколько. Сверьте ответ с числителем: если нужно 3/8, в решении должны быть взяты три восьмых, а не одна.

При нахождении целого известную часть могут умножить на дробь. Это повторяет правило нахождения части и уменьшает число, хотя целое при дроби меньше единицы должно быть больше известной части. Проверьте решение делением: целое должно давать заданную часть после умножения на дробь.

Ещё одна ошибка — принять найденную часть за всё число. Такое случается, если остановиться после первого деления и не восстановить остальные доли. Сравните результат с условием: при дроби меньше единицы часть меньше целого, а обратная проверка должна вернуть известное значение.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужно понимать смысл числителя и знаменателя, а также уметь делить и умножать натуральные числа. Эти знания объясняют, почему сначала находят одну долю, а затем нужное количество долей.

Правила пригодятся в задачах на дроби, измерения и восстановление исходного количества по известной части. С их помощью можно находить длину всего пути по пройденной части, первоначальный запас по оставшемуся количеству и другие величины.

Что запомнить

• Чтобы найти дробь от числа, число делят на знаменатель и умножают на числитель.
• Сначала можно найти одну долю, разделив целое на знаменатель.
• Чтобы найти целое по его дробной части, известную часть делят на эту дробь.
• При нахождении целого удобно сначала определить значение одной доли.
• Если дробь меньше единицы, её часть меньше целого.
• Ответ полезно проверять обратным действием.