10.1. Геометрические тела и их изображение

Определения и обозначения

Геометрическое тело — объёмная фигура, занимающая часть пространства. Примеры таких тел можно увидеть вокруг: коробка похожа на прямоугольный параллелепипед, мяч — на шар, банка — на цилиндр. Это понятие нужно, чтобы описывать не только плоские рисунки, но и форму настоящих предметов.

Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Например, у коробки поверхность образована прямоугольниками, а у пирамиды боковые части являются треугольниками. У многогранника выделяют грани, рёбра и вершины, чтобы точно описывать его устройство.

Грань — многоугольник на поверхности многогранника, ребро — сторона, общая для двух граней, а вершина — точка, в которой сходятся рёбра. Эти элементы связаны между собой: грани встречаются по рёбрам, а рёбра заканчиваются в вершинах. С их помощью можно пересчитать части тела и правильно назвать их.

Изображение геометрического тела — рисунок, который передаёт его форму на плоскости. Видимые границы показывают сплошными линиями, а скрытые рёбра многогранника — пунктиром. Такое обозначение помогает понять, какие части тела находятся впереди, а какие закрыты от наблюдателя.

Как это устроено

Объёмное тело отличается от плоской фигуры тем, что занимает место не только в длину и ширину, но и в высоту. Например, квадрат можно нарисовать на листе, а куб имеет переднюю, заднюю и боковые части, расположенные на разном расстоянии. Поэтому у тела можно рассматривать внутренний объём и поверхность, а у плоской фигуры — только область на плоскости.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из прямоугольных граней. Грани соединяются сторонами, и каждая такая общая сторона становится ребром, потому что при переходе от одной грани к другой поверхность меняет направление. Именно поэтому параллелепипед выглядит объёмным, а не как набор отдельных прямоугольников.

Куб устроен похожим образом, но все его грани — равные квадраты. Квадрат является прямоугольником, значит, каждая грань куба подходит под определение грани прямоугольного параллелепипеда. Поэтому куб рассматривают как особый прямоугольный параллелепипед, у которого все размеры рёбер одинаковы.

У цилиндра, конуса и шара есть поверхности, которые изгибаются. Их нельзя целиком разделить на многоугольники: у цилиндра и конуса есть кривые боковые части, а у шара вся поверхность кривая. Значит, наличие отдельных плоских частей ещё не делает тело многогранником.

Чтобы изобразить тело на плоскости, сначала показывают его переднюю и боковые части, которые видит наблюдатель. Видимые рёбра проводят сплошными линиями, чтобы обозначить границы открытых частей. Рёбра многогранника, скрытые за гранями, проводят пунктиром: так плоский рисунок передаёт расположение деталей в пространстве.

Геометрические тела и их изображения

Сначала найдите в таблице название тела, а затем сравните его поверхность с изображением. Для многогранников отдельно проверьте грани, рёбра и вершины, а для тел с кривой поверхностью — форму основания и боковой части. Последний столбец подсказывает, какие детали нужно искать на рисунке.

Разбор задач

Задача 1

Условие: На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед. Найдите и назовите его грани, рёбра и вершины. Обозначим его вершины буквами A, B, C, D спереди и A₁, B₁, C₁, D₁ сзади, причём соответствующие буквы соединены.

1. Сначала выпишем все вершины: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁. Это точки, в которых встречаются рёбра.
2. Назовём рёбра: AB, BC, CD, DA; A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁; AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Всего получилось 12 рёбер.
3. Составим грани: ABCD, A₁B₁C₁D₁, ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁. Каждая грань ограничена четырьмя рёбрами.

Ответ: 8 вершин, 12 рёбер и 6 прямоугольных граней, названных выше.

Задача 2

Условие: Изобразите куб и обозначьте пунктиром его невидимые рёбра. Нужно передать на плоскости и форму куба, и то, какие его части расположены сзади.

1. Нарисуйте квадрат передней грани куба и обозначьте его вершины.
2. От каждой вершины проведите одинаково направленные отрезки одинаковой длины. Их концы соедините, чтобы получить заднюю грань.
3. Переднюю грань и видимые боковые рёбра оставьте сплошными, а рёбра задней части, закрытые передней гранью, проведите пунктиром.

Ответ: получено изображение куба, где видимые линии сплошные, а скрытые рёбра показаны пунктиром.

Задача 3

Условие: По изображению тела определите, является ли оно многогранником, и обоснуйте ответ. На изображении видны круглое основание и плавно изгибающаяся боковая часть.

1. Проверим поверхность тела целиком, а не только отдельные его части.
2. Круглое основание является плоской частью, но боковая поверхность изгибается и не состоит из многоугольников.
3. Такую поверхность нельзя полностью составить из граней-многоугольников, поэтому тело не подходит под определение многогранника.

Ответ: тело не является многогранником, потому что его боковая поверхность кривая.

Типичные ошибки

Считать любой объёмный предмет многогранником. Ошибка возникает потому, что ученик видит объём, но забывает проверить поверхность. У шара и цилиндра есть кривые части, поэтому нужно мысленно проверить всю поверхность тела.

Называть гранью отдельное ребро или вершину. Иногда путают название части с её границей: ребро ограничивает грань, но не заменяет её. Проверьте себя вопросом: является ли названная часть многоугольником, а не стороной или точкой?

Проводить все рёбра сплошными линиями. Так можно допустить ошибку, потому что на плоском рисунке не видно глубины тела. Определите, какие рёбра закрыты передними гранями, и именно их обозначьте пунктиром.

Путать изображение тела с самим телом. Рисунок находится на плоскости, а настоящее тело занимает объём в пространстве. Помните, что изображение только передаёт форму и не обладает всеми размерами реального предмета.

Связь с другими темами

Для изучения многогранников нужны знания о плоских фигурах: многоугольниках, прямоугольниках, квадратах, их сторонах и вершинах. Грань можно распознать именно потому, что она является многоугольником.

Изображения тел пригодятся при изучении их размеров, вычислении площади поверхности и объёма, а также в практических задачах. Умение видеть скрытые рёбра помогает правильно читать чертежи и описывать предметы в пространстве.

Что запомнить

• Геометрическое тело занимает часть пространства.
• Поверхность многогранника состоит из многоугольников.
• Грани многогранника соединяются по рёбрам.
• Вершины — точки, в которых сходятся рёбра.
• Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда.
• Видимые части тела на рисунке показывают сплошными линиями, невидимые рёбра — пунктиром.