39. Геометрические тела и их изображение

Определения и обозначения

Геометрическое тело — объёмная фигура, занимающая часть пространства. В отличие от плоской фигуры, например треугольника, тело имеет не только длину и ширину, но и высоту. Это различие помогает понять, почему коробка или мяч имеют объём, а нарисованный контур — нет.

Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Например, поверхность коробки можно представить как набор прямоугольников. Это определение помогает отличать многогранники от тел с округлой поверхностью, таких как шар.

Грань — многоугольник на поверхности многогранника, а ребро — отрезок, по которому встречаются две грани. У коробки каждая плоская сторона является гранью, а линия стыка двух сторон — ребром. Эти названия нужны, чтобы точно описывать устройство тела и не путать его поверхности с линиями между ними.

Вершина многогранника — точка, в которой сходятся его рёбра. У куба вершины находятся в углах, где встречаются три ребра. По вершинам удобно называть части многогранника и считать их, рассматривая тело целиком.

Как это устроено

Чтобы узнать геометрическое тело среди предметов, посмотри, занимает ли оно пространство и есть ли у него объём. Кубик и коробка имеют толщину, поэтому их можно рассматривать как тела, а нарисованный квадрат — как плоскую фигуру. На листе бумаги нельзя получить настоящую глубину: лист плоский, поэтому объём приходится передавать условно с помощью линий. Такой рисунок помогает представить форму предмета, но не становится самим объёмным телом.

У многогранника отдельные многоугольники соединены в общую поверхность. Если рассмотреть две соседние грани, окажется, что они имеют общую сторону — ребро; стороны, принадлежащие только одной грани, отдельно внутри поверхности не возникают. Концы рёбер образуют вершины, в которых сходятся несколько граней. Поэтому грани, рёбра и вершины связаны друг с другом и вместе задают устройство многогранника.

При изображении тела на плоскости стараются сохранить узнаваемую форму. Например, параллельные рёбра обычно проводят параллельными отрезками, хотя на рисунке предмет выглядит не так, как при взгляде на него со всех сторон. Это условный способ показать пространственное тело на плоском листе. Благодаря ему можно увидеть, какие части тела находятся рядом, и представить его объём.

Часть рёбер многогранника может оказаться за его видимой стороной. Их проводят пунктиром, чтобы показать: эти рёбра не исчезли, а просто закрыты от взгляда. Если нарисовать их сплошными линиями, рисунок может выглядеть так, будто линии проходят по поверхности, обращённой к нам. Пунктир помогает различать видимую и скрытую части тела.

Куб и прямоугольный параллелепипед похожи: у каждого шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники, и их размеры могут отличаться. Куб — особый прямоугольный параллелепипед: все его грани являются равными квадратами, а все рёбра имеют одинаковую длину. Поэтому любой куб можно считать прямоугольным параллелепипедом, но не каждый прямоугольный параллелепипед является кубом.

Сравнение куба и прямоугольного параллелепипеда

Сравнивай тела по строкам: так легко увидеть и общие свойства, и отличия. Например, число частей у них одинаковое, но форма граней различается. При изображении обоих тел невидимые рёбра обозначают пунктиром.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображён куб ABCD A₁B₁C₁D₁. Назовите его грани, рёбра и вершины. Будем считать, что ABCD и A₁B₁C₁D₁ — две противоположные грани, а соответствующие вершины соединены рёбрами. Сначала перечислим грани, затем стороны этих граней и точки, где сходятся рёбра.

1. Нижняя и верхняя грани: ABCD и A₁B₁C₁D₁.
2. Боковые грани: ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁ и DAA₁D₁.
3. Рёбра двух оснований — AB, BC, CD, DA и A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁; соединяющие рёбра — AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.
4. Вершины: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁.

Ответ: у куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Грань — целая квадратная сторона, а ребро — только отрезок на её границе. Поэтому при перечислении важно не называть каждую сторону грани отдельной гранью.

Задача 2. Изобразите прямоугольный параллелепипед и отметьте невидимые рёбра. Нужно показать его объём на плоском листе, поэтому начнём с передней грани, а затем добавим заднюю часть. В условном рисунке задняя грань может быть смещена относительно передней.

1. Нарисуйте прямоугольник — переднюю грань параллелепипеда.
2. Нарисуйте рядом такой же прямоугольник со сдвигом вверх и вправо.
3. Соедините соответствующие вершины прямоугольников отрезками.
4. Три ребра, которые оказались за видимой частью тела, проведите пунктиром, а остальные — сплошными линиями.

Ответ: получится изображение параллелепипеда с тремя пунктирными невидимыми рёбрами. Проверьте, что у каждой вершины сходятся рёбра, а пунктирные отрезки соединяют нужные вершины. Положение тела можно изменить, но скрытые рёбра всё равно показывают пунктиром.

Задача 3. Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Сколько материала потребуется для оклейки всех её внешних граней, если длина равна a, ширина — b, а высота — c? Материал должен покрыть поверхность снаружи, значит, нужно найти площадь всех шести граней. Противоположные грани равны, поэтому достаточно найти площади трёх разных прямоугольников и удвоить их сумму.

1. Площади верхней и нижней граней равны ab каждая.
2. Площади передней и задней граней равны ac каждая.
3. Площади двух оставшихся граней равны bc каждая.
4. Сложите площади: ab + ab + ac + ac + bc + bc = 2(ab + ac + bc).

Ответ: потребуется площадь материала 2(ab + ac + bc). Подставьте длину, ширину и высоту в одинаковых единицах измерения, и тогда площадь получится в квадратных единицах. Если коробку оклеивают с запасом на сгибы, его нужно учитывать отдельно.

Типичные ошибки

• Грань называют ребром или наоборот. Это случается, когда рассматривают предмет, не различая его плоскую сторону и линию стыка сторон. Проверь себя: грань имеет площадь и форму многоугольника, а ребро — отрезок между двумя гранями.

• Пунктирное ребро считают отсутствующим. Его не видно на рисунке, поэтому кажется, будто у тела меньше рёбер. Проверь себя: мысленно поверни многогранник — скрытый отрезок всё равно соединяет две вершины и принадлежит телу.

• Скрытые рёбра проводят сплошными линиями. Так делают, если забывают, что часть поверхности закрывает их от наблюдателя; тогда рисунок становится неоднозначным. Проверь себя: определи, какие рёбра видны с выбранной стороны, и невидимые обозначь пунктиром.

• Любой прямоугольный параллелепипед считают кубом. У этих тел одинаковое число граней, рёбер и вершин, поэтому их легко спутать. Проверь себя: у куба все грани — равные квадраты, а у другого параллелепипеда прямоугольные грани могут иметь разные размеры.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в строении многогранников, нужно знать многоугольники, отрезки, вершины и прямоугольники. Грань — это многоугольник, а рёбра и вершины можно описать с помощью уже знакомых отрезков и точек. Эти знания позволяют аккуратно называть и считать части тела.

Представление о гранях и рёбрах понадобится при изучении площади поверхности и объёма. Площадь поверхности находят по граням, а объём связан с пространством, которое занимает тело. Например, для коробки сначала важно распознать её прямоугольные грани, чтобы составить сумму их площадей.

Что запомнить

• Геометрическое тело имеет объём, а плоская фигура лежит на плоскости.
• Многогранник состоит из многоугольных граней.
• Грани встречаются по рёбрам, а рёбра сходятся в вершинах.
• Невидимые рёбра на рисунке обычно показывают пунктиром.
• Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все грани являются равными квадратами.