40. Параллелепипед и пирамида

Определения и обозначения

Параллелепипед — многогранник, у которого шесть граней являются параллелограммами. Его противоположные грани попарно параллельны и равны, поэтому фигура сохраняет одинаковую форму с двух сторон. На чертеже вершины обозначают заглавными буквами, например A, B, C и D.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Такую форму имеют коробка, кирпич, шкаф и многие книги. Это удобная модель для предметов, у которых можно измерить длину, ширину и высоту.

Пирамида — многогранник, у которого одна грань является многоугольником-основанием, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Основание называют по числу его сторон: треугольное, четырёхугольное, пятиугольное. Общую вершину боковых треугольников называют вершиной пирамиды.

Вершины, рёбра и грани — основные элементы многогранника. Вершина — точка, где встречаются рёбра, ребро — отрезок между соседними вершинами, а грань — многоугольник на поверхности фигуры. Чтобы найти элементы, отметь точки, соединяющие их отрезки и замкнутые многоугольники, а затем назови их буквами.

Как это устроено

Параллелепипед можно представить как призму с четырёхугольным основанием. Внизу и вверху находятся два равных параллельных параллелограмма, а боковые грани соединяют соответствующие стороны этих оснований. Поэтому каждая вершина одного основания соединяется с соответствующей вершиной другого, и фигура становится замкнутой.

У параллелепипеда шесть граней, потому что есть две грани-основания и по одной боковой грани для каждой из четырёх сторон основания. В каждом из двух оснований по четыре вершины, значит, всего 8 вершин, а рёбра основания и соединяющие рёбра дают 4 + 4 + 4 = 12. Одно ребро параллельно четырём другим: такие рёбра имеют одинаковое направление и лежат в трёх параллельных «слоях» фигуры.

В прямоугольном параллелепипеде размеры задают длина, ширина и высота. Каждое из этих трёх измерений повторяется у четырёх рёбер, потому что по четыре ребра идут в каждом направлении. Поэтому противоположные рёбра попарно равны, а для длины всего каркаса достаточно сложить три измерения и умножить сумму на 4.

Пирамида получается так: сначала выбирают многоугольник в одной плоскости, затем берут точку вне этой плоскости и соединяют её со всеми вершинами основания. Эти отрезки становятся боковыми рёбрами, а каждая сторона основания вместе с двумя соседними отрезками образует боковую треугольную грань. Если в основании n-угольник, то треугольников будет n, боковых рёбер тоже n, а вместе с основанием получится n + 1 грань.

Сравнение параллелепипеда и пирамиды

Сначала определи форму основания, а затем используй соответствующую строку таблицы. Для пирамиды число сторон основания сразу помогает найти число боковых граней, рёбер и вершин. У параллелепипеда числа элементов постоянны: 6, 12 и 8.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Нужно назвать две противоположные грани, параллельные рёбра и равные рёбра. Нижнее основание обозначено буквами A, B, C, D, а верхнее — A₁, B₁, C₁, D₁.

1. Противоположными будут грани ABCD и A₁B₁C₁D₁: они не имеют общих точек и расположены параллельно.
2. Ребро AB параллельно CD, A₁B₁ и C₁D₁, потому что все они идут в одном направлении.
3. Равными ребрами являются AB, CD, A₁B₁ и C₁D₁. В прямоугольном параллелепипеде равны все рёбра, имеющие одно направление.

Ответ: противоположные грани — ABCD и A₁B₁C₁D₁; рёбра, параллельные AB, — CD, A₁B₁ и C₁D₁; равные рёбра — AB, CD, A₁B₁ и C₁D₁.

Задача 2

Основание пирамиды — пятиугольник, то есть n = 5. У основания пять вершин, а над ними находится ещё одна общая вершина пирамиды. В каждом подсчёте учитываем отдельно основание и боковые элементы.

1. Вершин: 5 + 1 = 6.
2. Рёбер основания 5 и боковых рёбер 5, поэтому 5 + 5 = 10.
3. Боковых граней 5, а вместе с основанием 5 + 1 = 6 граней.

Ответ: 6 вершин, 10 рёбер и 6 граней.

Задача 3

Длина прямоугольного параллелепипеда равна 8 см, ширина — 5 см, высота — 3 см. Нужно узнать длину проволоки для всех рёбер каркаса. Каждое измерение встречается среди рёбер четыре раза.

1. Сложим три разных длины: 8 + 5 + 3 = 16 см.
2. Учтём четыре одинаковых набора рёбер: 4 · 16 = 64 см.

Ответ: потребуется 64 см проволоки.

Типичные ошибки

Ошибка: называть основанием параллелепипеда только нижнюю грань. Так делают, потому что в обычном рисунке нижняя грань выглядит как «дно». Проверь себя: у параллелепипеда можно выбрать любую пару противоположных граней.

Ошибка: считать основание пирамиды треугольником. Боковые грани действительно треугольные, но основание может быть любым многоугольником. Проверь число сторон основания и не включай его в число боковых граней.

Ошибка: путать рёбра и грани. Ребро — отрезок, а грань — целый многоугольник, ограниченный рёбрами. Проверь, считаешь ли ты линии или поверхности.

Ошибка: считать у пирамиды с n-угольным основанием n + 1 ребро. В основании уже есть n рёбер, и ещё n рёбер соединяют вершину пирамиды с основанием. Значит, всего получается 2n рёбер.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о многоугольниках, параллельных и равных сторонах, прямоугольниках и параллелограммах. Понимание граней, рёбер и вершин пригодится при изучении объёмов и площадей поверхности многогранников. Умение читать чертежи и считать элементы поможет решать геометрические задачи и строить развёртки фигур.

Что запомнить

• У параллелепипеда шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин.
• Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
• У прямоугольного параллелепипеда три измерения: длина, ширина и высота.
• У пирамиды одна грань — основание, остальные грани — треугольники с общей вершиной.
• У пирамиды с n-угольным основанием n + 1 грань, 2n рёбер и n + 1 вершина.