"Математика", Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.
Объём показывает, сколько места занимает тело. Чтобы сравнить объёмы, можно представить, сколько одинаковых кубиков поместится внутри каждого тела. У прямоугольного параллелепипеда объём зависит от длины, ширины и высоты: если заполнить его одинаковыми кубиками без промежутков и наложений, их число можно найти умножением трёх измерений. Формула V = abc помогает вычислить объём коробки, комнаты или другой прямоугольной ёмкости, а единицы ответа записывают в кубических единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём — величина, которая показывает, сколько места занимает тело. Например, если одна коробка больше другой, в неё может поместиться больше одинаковых кубиков. Так можно сравнивать объёмы, не полагаясь только на внешний вид предметов.
Единица объёма — объём куба, который выбрали за единицу измерения. Объём тела определяют, считая, сколько таких кубов его заполняет. Это удобно, потому что результат можно выразить числом: например, тело занимает 12 единичных кубов.
Кубический сантиметр — объём куба, у которого каждое ребро равно 1 см. Его обозначают см³; маленькая цифра 3 означает, что сантиметр умножается сам на себя три раза. Эта единица подходит, когда размеры тела измеряют в сантиметрах.
Прямоугольный параллелепипед — тело, у которого грани имеют форму прямоугольников. Для вычисления его объёма используют длину, ширину и высоту. Эти три измерения показывают размеры тела в трёх направлениях.
Представим тело, которое можно заполнить одинаковыми кубиками. Если кубики плотно прилегают друг к другу и не накладываются, их число и есть объём в выбранных единицах. Промежутки дали бы лишнее пустое место, а наложенные кубики считались бы дважды, поэтому заполнение должно быть ровным.
Начнём с нижнего слоя прямоугольного параллелепипеда. Вдоль одной стороны помещается столько кубиков, сколько единиц длины в длине, а вдоль другой — сколько единиц в ширине. В каждом ряду получается число кубиков, равное длине, и таких рядов столько, сколько единиц ширины; поэтому в слое их a · b.
Теперь нужно учесть остальные слои. Если высота равна c единицам, над первым слоем расположится ещё столько же рядов слоёв, чтобы всего их было c. Каждый слой содержит a · b кубиков, поэтому общее число кубиков равно (a · b) · c. Так и получается объём прямоугольного параллелепипеда.
Запись V = abc — короткая формула для этого правила: V обозначает объём, а a, b и c — длину, ширину и высоту. Например, при измерениях 4 см, 3 см и 2 см нужно перемножить 4 · 3 · 2. Все три измерения должны быть выражены в одинаковых единицах, иначе числа относятся к разным размерам и произведение получится неверным.
Единицы объёма связаны с единицами длины. Если ребро куба равно 1 дм, то его объём равен 1 дм³; такой куб и служит единицей при измерениях в дециметрах. По той же причине измерения в сантиметрах дают кубические сантиметры: единица длины входит в произведение три раза.
| Что рассматриваем | Как определить или записать |
|---|---|
| Объём по числу единичных кубов | Посчитать кубы, которыми тело заполнено без промежутков и наложений. |
| Длина, ширина и высота | Три измерения прямоугольного параллелепипеда: a, b и c. |
| Формула объёма | V = abc. |
| Единица объёма при измерениях в сантиметрах | Кубический сантиметр — см³. |
| Единица объёма при измерениях в дециметрах | Кубический дециметр — дм³. |
Сначала найди в таблице, какие величины известны и в каких единицах они измерены. Для прямоугольного параллелепипеда перемножь три измерения, а единицу объёма выбери по общей единице длины. Если запутался, проверь, каким кубом заполнялось бы тело.
Условие: длина прямоугольного параллелепипеда равна 4 см, ширина — 3 см, высота — 2 см. Требуется найти его объём. Все измерения уже выражены в сантиметрах, поэтому ответ будет в кубических сантиметрах.
Ответ: 24 см³. Перед записью ответа проверяем, что единица именно кубическая, а не просто сантиметры. Это соответствует трём перемноженным измерениям.
Условие: длина коробки 12 см, ширина 5 см, высота 4 см. Нужно узнать, сколько кубиков объёмом 1 см³ можно в ней разместить. Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда, а каждый кубик служит единицей объёма.
Ответ: в коробку поместится 240 кубиков объёмом 1 см³. Проверка проста: 12 · 5 · 4 = 240 см³. Число кубиков совпадает с объёмом, выраженным в кубических сантиметрах.
Условие: объём прямоугольного параллелепипеда равен 240 см³, длина — 10 см, ширина — 6 см. Нужно найти высоту. Неизвестное измерение обозначим буквой h.
Ответ: высота равна 4 см. Проверим подстановкой: 10 · 6 · 4 = 240 см³. Результат совпал с объёмом из условия.
Иногда перемножают только длину и ширину и получают площадь основания, а не объём. Так происходит, если забыть, что тело имеет высоту и состоит из нескольких слоёв. Проверь себя: в записи для объёма должны участвовать три измерения.
Другая ошибка — записать ответ в сантиметрах, например 24 см. При умножении трёх длин сантиметр учитывается три раза, поэтому единица становится кубической: 24 см³. Проверь обозначение единицы после вычисления и свяжи её с тем, что считаешь кубики.
Нельзя подставлять в формулу измерения, выраженные в разных единицах, например сантиметры и дециметры. Числа тогда описывают длины, измеренные разными мерками, и произведение не даст правильного ответа. Перед вычислением переведи все три измерения в сантиметры или все в дециметры.
Перестановка длины, ширины и высоты не меняет объём, потому что от перестановки множителей произведение остаётся тем же. Иногда кажется, что название каждого измерения требует отдельного места в формуле, но V = abc учитывает только три размера. Проверка: умножь те же три числа в другом порядке — результат не изменится.
Для работы с объёмом нужно уметь измерять длину и находить площадь прямоугольника по длине и ширине. Именно так определяется число кубиков в одном слое, после чего учитывается высота. Формула пригодится, когда нужно выяснить, сколько места занимает коробка или сколько вмещает прямоугольная ёмкость.
Единицы объёма связаны с изучением литра и кубического дециметра. Эти знания нужны, чтобы понимать, чем измеряют вместимость, и переводить единицы. Например, кубический дециметр — это объём куба с ребром 1 дм.
Почему объём измеряют кубическими единицами?
Объём можно измерить числом одинаковых кубов, которыми тело заполнено без промежутков и наложений. Поэтому единицу объёма называют по длине ребра такого куба, например кубический сантиметр.
Почему для нахождения объёма нужно перемножить три измерения?
Длина и ширина помогают узнать, сколько кубиков помещается в одном слое. Высота показывает число таких слоёв, поэтому общее число кубиков равно произведению длины, ширины и высоты.
Как выбрать единицу для ответа — см³ или дм³?
Единица ответа зависит от единиц, в которых записаны измерения. Если длина, ширина и высота даны в сантиметрах, ответ будет в см³, а если все измерения даны в дециметрах — в дм³.
Что делать, если длина дана в сантиметрах, а ширина — в дециметрах?
Сначала переведи все измерения в одну единицу длины. Например, 1 дм = 10 см, поэтому ширину в дециметрах можно выразить в сантиметрах, а затем подставить измерения в формулу.
Можно ли найти объём, если известно только два измерения?
Нет, двух измерений недостаточно: объём зависит также от третьего измерения. Если известен объём и два измерения, третье можно найти делением объёма на произведение известных измерений.
41. Объём параллелепипеда
