10.3. Объём параллелепипеда

Определения и обозначения

Объём — величина, показывающая, сколько места занимает тело. Например, объём коробки говорит о том, сколько пространства находится внутри неё. Объём не то же самое, что площадь: площадь описывает плоскую поверхность, а объём — всё тело.

Прямоугольный параллелепипед — тело, все грани которого являются прямоугольниками. У него выделяют длину, ширину и высоту — три измерения, направленные вдоль его рёбер. Эти величины нужны, чтобы описать размер тела и рассчитать его объём.

Кубическая единица объёма — объём куба, ребро которого равно одной единице длины. Если ребро кубика равно одному сантиметру, его объём равен одному кубическому сантиметру, или 1 см³. Куб с ребром 1 дм имеет объём 1 дм³.

Объём прямоугольного параллелепипеда — число кубических единиц, которыми можно заполнить его без промежутков. Представь, что внутри стоят одинаковые кубики, а между ними нет пустых мест. Подсчёт этих кубиков помогает понять, что именно выражает найденное число.

Как это устроено

Чтобы найти объём, представим, что заполняем прямоугольный параллелепипед одинаковыми единичными кубами. Каждый куб занимает одну кубическую единицу, поэтому подсчитать их — значит измерить объём. Кубики должны заполнять тело полностью: иначе часть пространства останется неучтённой.

Сначала рассмотрим нижний слой. В нём помещается несколько рядов кубиков: число рядов соответствует одной стороне основания, а число кубиков в каждом ряду — другой. Поэтому количество кубиков в слое находят умножением длины основания на его ширину, то есть a · b.

Произведение a · b одновременно показывает площадь основания в квадратных единицах. Это удобно: основание — прямоугольник, а его площадь находят умножением длины на ширину. Но пока мы посчитали кубики лишь в одном слое, а не во всём теле.

Теперь учтём высоту. Если она равна c единицам, внутри поместится c слоёв такой же толщины, как единичный куб. Значит, число кубиков во всём теле равно количеству кубиков в одном слое, умноженному на число слоёв: (a · b) · c.

Получаем формулу V = a · b · c, где a, b и c — длина, ширина и высота. Три линейных измерения перемножаются, поэтому единица длины тоже берётся трижды: см · см · см = см³. Если одно измерение, например высота, увеличить в несколько раз, слоёв станет во столько же раз больше, а объём вырастет так же, если остальные размеры не меняются. При одном и том же объёме тела могут иметь разные формы и разные измерения.

Объём прямоугольного параллелепипеда

В таблице собраны измерения, формула и единицы, которые понадобятся для вычислений. Сначала найди три линейных измерения, затем проверь, что они заданы в одинаковых единицах. После этого выбери кубическую единицу для ответа.

Разбор задач

Задача 1. Параллелепипед составлен из единичных кубиков: в одном слое 4 ряда по 3 кубика, а слоёв 2. Требуется узнать, сколько кубиков заполняют всё тело. Сначала подсчитаем кубики в слое, затем учтём все слои.

1. В одном ряду 3 кубика, а рядов 4, значит, в слое 4 · 3 = 12 кубиков.
2. Слоёв 2, поэтому всего 12 · 2 = 24 кубика.

Ответ: объём составляет 24 кубические единицы. Здесь можно не записывать сантиметры или дециметры, потому что в условии заданы только единичные кубики. Если известна длина ребра кубика, единицу объёма можно уточнить.

Задача 2. Найдём объём коробки длиной 8 см, шириной 5 см и высотой 3 см. Все три измерения уже выражены в сантиметрах, поэтому можно сразу использовать формулу объёма. Ответ будет в кубических сантиметрах.

1. Записываем формулу: V = a · b · c.
2. Подставляем измерения: V = 8 · 5 · 3.
3. Сначала вычисляем 8 · 5 = 40, затем 40 · 3 = 120.

Ответ: объём коробки равен 120 см³. Кубические сантиметры подходят, потому что каждое из трёх измерений задано в сантиметрах. Проверка: если коробка разделена на кубики с ребром 1 см, их должно поместиться 120.

Задача 3. Объём прямоугольного аквариума равен 120 дм³, длина — 8 дм, ширина — 5 дм. Требуется найти высоту. В формуле уже известны объём и два измерения, поэтому неизвестную высоту можно получить делением.

1. Записываем формулу: V = a · b · c.
2. Выражаем высоту: c = V : (a · b).
3. Подставляем числа: c = 120 : (8 · 5) = 120 : 40 = 3.

Ответ: высота аквариума равна 3 дм. Сначала мы нашли площадь основания — 8 · 5 = 40 дм². Деление объёма на площадь основания показывает, сколько таких слоёв приходится на высоту.

Типичные ошибки

Иногда умножают только длину на ширину и называют результат объёмом. Так находят лишь площадь основания: высота ещё не учтена, поэтому ответ описывает одну плоскую грань. Проверь себя: в формуле объёма должно быть три измерения, а не два.

Другая ошибка — записывать результат в квадратных единицах, например см². Это происходит, когда путают площадь с объёмом или не замечают, что перемножены три измерения. Проверь число множителей: длина, ширина и высота дают кубическую единицу, например см³.

Если длина дана в сантиметрах, а ширина — в дециметрах, нельзя без подготовки перемножать эти числа. Числа относятся к разным единицам, поэтому сначала переведи все измерения в сантиметры или все в дециметры. Для проверки посмотри, одинаковые ли единицы стоят рядом у трёх измерений.

Линейные измерения порой принимают за площадь грани. Длина, ширина и высота — это расстояния вдоль рёбер, а площадь грани выражается в квадратных единицах и сама уже является произведением двух сторон. Проверь запись: в формулу V = a · b · c подставляют именно три длины, а не площадь грани вместо одного измерения.

Связь с другими темами

Для вычисления объёма пригодятся умение измерять длину и находить площадь прямоугольника. Ещё нужно уверенно умножать натуральные числа, а при поиске неизвестного измерения — делить. Если измерения даны в разных единицах, понадобятся знания о переводе единиц длины.

Объём помогает решать практические задачи о вместимости коробок, помещений и ёмкостей: он показывает, сколько пространства они занимают или вмещают. Эта тема пригодится при изучении единиц объёма и способов находить объём других тел. Представление об одинаковых кубиках позволяет сравнивать вместимость предметов, даже если их форма различается.

Что запомнить

• Объём показывает, сколько места занимает тело.
• Объём можно представить как число одинаковых единичных кубов внутри тела.
• Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
• Формула: V = a · b · c.
• Объём выражают в кубических единицах: см³, дм³, м³.
• Все измерения в формуле должны быть выражены в одинаковых единицах.