10.2. Параллелепипед

Определения и обозначения

Параллелепипед — многогранник, у которого шесть граней, а противоположные грани попарно параллельны. Многогранник состоит из плоских многоугольников, соединённых между собой. Это определение помогает отличить параллелепипед от других объёмных фигур.

Грань — многоугольник, ограничивающий параллелепипед. У такой фигуры шесть граней: верхняя, нижняя, передняя, задняя, левая и правая. Грани показывают, из каких плоских частей состоит поверхность тела.

Ребро — отрезок, по которому пересекаются две грани. У параллелепипеда двенадцать рёбер, хотя на рисунке некоторые из них могут быть скрыты. Рёбра образуют границы граней и соединяют вершины.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Коробка или кирпич часто имеют именно такую форму. Для этой фигуры удобно измерять длину, ширину и высоту.

Как это устроено

Чтобы узнать параллелепипед, сначала рассматривают его грани. У него должно быть шесть граней, а каждая грань противоположна другой грани и параллельна ей. Если у объёмной фигуры другое число граней или противоположные части не параллельны, это уже не параллелепипед.

Грани, рёбра и вершины нельзя рассматривать отдельно друг от друга. Каждая грань ограничена рёбрами, два соседних многоугольника имеют общее ребро, а концы рёбер встречаются в вершинах. Поэтому, пересчитывая элементы модели, нужно видеть всю конструкцию, включая её заднюю и нижнюю части.

Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны, потому что они имеют одинаковое положение и форму, а соединяющие их рёбра идут в одном направлении. По этой же причине соответствующие рёбра имеют одинаковую длину. Например, четыре ребра, направленные вдоль длины, равны между собой.

У прямоугольного параллелепипеда из одной вершины выходят три взаимно перпендикулярных ребра. Их называют длиной, шириной и высотой и обозначают, например, буквами a, b и c. Другие рёбра параллельны одному из них, поэтому имеют ту же длину. Такое обозначение позволяет описывать размер всей фигуры всего тремя числами.

Представим прямоугольный параллелепипед, сложенный из единичных кубиков. В одном нижнем слое помещается a · b кубиков, если длина и ширина выражены в единицах. Таких слоёв по высоте c, значит, общее число кубиков равно a · b · c. Поэтому объём вычисляют по формуле V = a · b · c, а результат записывают в кубических единицах.

Параллелепипед и прямоугольный параллелепипед

Таблица помогает увидеть, какие свойства у двух фигур совпадают, а какое свойство отличает прямоугольный параллелепипед. Сначала проверьте форму граней, затем пересчитайте грани, рёбра и вершины. Формулу объёма в таком виде применяют к прямоугольному параллелепипеду, когда известны три его измерения.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке изображён параллелепипед. Назовите его грани, рёбра и вершины и укажите, сколько их. На пространственном чертеже часть линий может быть невидимой. Поэтому считать нужно не только те элементы, которые сразу видны.

1. Мысленно отделяем шесть плоских частей поверхности: верхнюю, нижнюю, переднюю, заднюю, левую и правую грани.
2. Обходим границы всех граней и не повторяем один и тот же отрезок дважды. Получаем 12 рёбер.
3. Считаем точки, в которых сходятся рёбра. Таких точек 8; скрытая вершина также входит в счёт.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Задача 2

Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 3 см и 4 см. Нужно найти объём. Все три величины уже известны и выражены в сантиметрах, поэтому можно сразу применить формулу.

1. Записываем формулу: V = a · b · c.
2. Подставляем значения: V = 6 · 3 · 4.
3. Выполняем умножение: 6 · 3 = 18, 18 · 4 = 72.
4. Так как перемножались сантиметры по трём направлениям, единица объёма будет кубической.

Ответ: 72 см³.

Задача 3

Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Её объём равен 120 см³, длина — 10 см, ширина — 4 см. Требуется найти высоту. Неизвестное измерение удобно выразить из формулы объёма.

1. Записываем равенство: 120 = 10 · 4 · c.
2. Находим площадь основания: 10 · 4 = 40 см².
3. Делим объём на площадь основания: c = 120 : 40 = 3 см.
4. Проверяем результат: 10 · 4 · 3 = 120 см³, значит вычисление верно.

Ответ: высота коробки равна 3 см.

Типичные ошибки

Считать только видимые рёбра — ошибка, потому что пространственный рисунок не показывает всю фигуру одинаково ясно. Скрытые рёбра не исчезают. Проверьте себя по правилу: у параллелепипеда должно быть 12 рёбер.

Путать грань, ребро и вершину легко, если не различать их форму. Грань — плоская часть поверхности, ребро — отрезок, а вершина — точка встречи рёбер. При проверке спросите себя, считаете вы часть поверхности, линию или точку.

Называть любой параллелепипед прямоугольным нельзя. Прямоугольным он будет только тогда, когда все его грани — прямоугольники. Если среди граней есть другие параллелограммы, это общий параллелепипед.

Записывать объём в квадратных единицах или складывать измерения тоже неверно. Площадь измеряют в см², а объём — в см³; для прямоугольного параллелепипеда нужно умножить три измерения. Полезная проверка — посмотреть на размерность ответа.

Связь с другими темами

Для изучения параллелепипеда пригодятся знания о прямоугольнике, параллельных прямых, периметре и площади прямоугольника. Понимание площади основания помогает объяснить формулу объёма.

Объём и формула V = a · b · c нужны при вычислении вместимости коробок, контейнеров и комнат. Позже эти знания помогут переводить кубические единицы и решать задачи на объём.

Что запомнить

• У параллелепипеда шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин.
• Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
• У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.
• Длину, ширину и высоту называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.
• Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V = a · b · c.
• Объём измеряют в кубических единицах.