Параллелепипед

Определения и обозначения

Параллелепипед — многогранник, у которого шесть граней являются параллелограммами. Грань — плоская сторона многогранника, а параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами. Две противоположные грани выбирают основаниями, а четыре оставшиеся называют боковыми. Такое разделение помогает описывать фигуру и понимать, какие её стороны соединяют основания.

Противоположными называют грани, не имеющие общих вершин. У параллелепипеда они параллельны и равны, поэтому одну такую грань можно совместить с другой переносом. Это свойство помогает находить равные элементы фигуры и проверять чертёж. Не путай противоположные грани с соседними: соседние имеют общее ребро.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Значит, его грани не просто параллелограммы, а четырёхугольники со всеми прямыми углами. Это уточнение важно для вычислений: появляется возможность использовать свойства прямоугольного треугольника. Обычный параллелепипед может быть наклонным и не обладать этим свойством.

Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Вершины — точки, в которых сходятся рёбра, а рёбра — стороны граней. Диагональ проходит внутри фигуры, а не по её поверхности. По определению её отличают и от ребра, и от диагонали отдельной грани.

Как это устроено

Представь параллелограмм и такой же параллелограмм, сдвинутый в пространстве. Если соединить соответствующие вершины этих фигур, получатся четыре боковые грани, и вместе с основаниями они замкнут объёмное тело. Боковые грани тоже являются параллелограммами, потому что их противоположные стороны параллельны: это следует из параллельности соответствующих сторон оснований и соединяющих рёбер. Так возникает параллелепипед, а не просто набор отдельных четырёхугольников.

В каждом основании по четыре вершины и четыре ребра, поэтому у двух оснований вместе восемь вершин и восемь рёбер. Между соответствующими вершинами оснований проходят ещё четыре боковых ребра, всего получается двенадцать. Четыре боковые грани не добавляют новых вершин: каждая использует уже имеющиеся вершины оснований. Поэтому у фигуры остаётся восемь вершин и образуется шесть граней: два основания и четыре боковые.

Параллельность и равенство противоположных граней связаны с устройством параллелограммов. При переносе основания его сторона остаётся параллельной исходной и равной ей, а соответствующие вершины соединяются параллельными равными отрезками. Поэтому боковые грани замыкаются так, что грани напротив друг друга совпадают по форме и расположены параллельно. По той же причине рёбра, которые направлены параллельно друг другу, имеют одинаковую длину.

У прямоугольного параллелепипеда три ребра выходят из каждой вершины; каждое из них образует прямой угол с двумя другими. Это происходит потому, что углы его прямоугольных граней прямые, поэтому все три направления взаимно перпендикулярны. Длины этих трёх рёбер задают все размеры фигуры: их называют длиной, шириной и высотой. Противоположные рёбра равны, поэтому для описания размеров достаточно знать по одной длине каждого направления.

Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда, потому что его грани-квадраты являются прямоугольниками. У него все рёбра равны, а значит, длина, ширина и высота имеют одно и то же значение. Равенство рёбер не отменяет прямых углов между ними. Поэтому любой куб является прямоугольным параллелепипедом, но не каждый прямоугольный параллелепипед — куб.

Сравнение параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда и куба

Сравнивай фигуры сверху вниз: так видно, какие свойства есть у каждой и какие появляются при переходе к частному случаю. Куб удовлетворяет всем условиям прямоугольного параллелепипеда и добавляет условие равенства всех рёбер. Если в задаче не сказано, что параллелепипед прямоугольный, не считай его грани прямоугольниками.

Разбор задач

Задача 1. У параллелепипеда перечислены грани ABCD и EFGH, причём ABCD — основание. Назови противоположное основание и боковые грани. Имена граней включают все четыре их вершины, поэтому сначала ищем грань без общих с ABCD вершин. Затем называем оставшиеся грани, которые соединяют вершины оснований.

1. Вершины EFGH не совпадают с вершинами основания ABCD, поэтому грань EFGH — противоположное основание.
2. Оставшиеся четыре грани соединяют соответствующие стороны оснований: ABFE, BCGF, CDHG и DAEH.

Ответ: противоположное основание — EFGH, боковые грани — ABFE, BCGF, CDHG и DAEH. Проверка простая: у каждой боковой грани две вершины принадлежат ABCD и две — EFGH. Основания же не имеют общих вершин.

Задача 2. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см. Найди длину диагонали. Диагональ основания вместе с двумя сторонами основания образует прямоугольный треугольник. Затем эта диагональ и высота образуют ещё один прямоугольный треугольник с искомой диагональю.

1. Найдём диагональ основания: d₁² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, значит, d₁ = 5 см.
2. Применим теорему Пифагора к треугольнику с катетами d₁ и высотой: d² = 5² + 5² = 50.
3. Извлечём квадратный корень: d = √50 = 5√2 см.

Ответ: 5√2 см. Два применения теоремы Пифагора нужны потому, что диагональ основания лежит в плоскости, а диагональ всего тела выходит из неё. Полученное значение примерно равно 7,1 см, что больше каждого из трёх измерений, как и должно быть для диагонали.

Задача 3. Периметр основания прямоугольного параллелепипеда равен 28 см, одна сторона основания на 2 см длиннее другой, высота равна 6 см. Найди диагональ. Сначала восстановим стороны прямоугольника, иначе нельзя составить прямоугольный треугольник для основания. Для этого используем периметр и разность сторон.

1. Пусть короткая сторона основания равна x см, тогда длинная — x + 2 см. Из периметра получаем 2(x + x + 2) = 28, откуда 4x + 4 = 28 и x = 6.
2. Стороны основания равны 6 см и 8 см. Его диагональ d₁ находим по теореме Пифагора: d₁² = 6² + 8² = 100, значит, d₁ = 10 см.
3. Добавим высоту: d² = 10² + 6² = 136, поэтому d = √136 = 2√34 см.

Ответ: 2√34 см. Последовательность такая же, как в предыдущей задаче: сначала находим диагональ основания, затем диагональ фигуры. Приближённо это около 11,7 см, что больше высоты и обеих сторон основания.

Типичные ошибки

Считать любой параллелепипед прямоугольным — ошибка: у общего параллелепипеда грани могут быть наклонными параллелограммами. Её допускают, когда ориентируются только на привычные коробки и не проверяют прямые углы. Перед вычислениями посмотри, указано ли, что фигура прямоугольная. Если этого условия нет, нельзя без обоснования считать её рёбра перпендикулярными.

Отрезок между соседними вершинами называют диагональю параллелепипеда ошибочно: соседние вершины соединены ребром, а вершины одной грани могут образовывать диагональ этой грани. Путаница возникает из-за того, что все эти отрезки соединяют вершины. Проверь, лежат ли концы отрезка на одной грани: если да, это не диагональ всего тела. Диагональ параллелепипеда соединяет вершины, не принадлежащие одной грани.

Можно перепутать число рёбер и вершин: рёбер 12, а вершин 8. Часто считают только рёбра оснований и забывают четыре боковых, либо принимают точки пересечения за дополнительные вершины. Проверь подсчёт отдельно: по четыре ребра у каждого основания и ещё четыре боковых ребра. Вершины при этом уже учтены в двух основаниях — их по четыре в каждом.

Применять теорему Пифагора к наклонному параллелепипеду так, будто его рёбра перпендикулярны, нельзя. Это делают, перенося правило для прямоугольной коробки на любую пространственную фигуру. Теорема Пифагора работает в прямоугольном треугольнике, поэтому сначала убедись, что прямой угол действительно есть. В задаче о диагонали прямоугольного параллелепипеда нужные треугольники образованы его перпендикулярными измерениями.

Связь с другими темами

Для изучения параллелепипеда нужны свойства параллелограмма и прямоугольника: по ним можно распознавать форму граней и отношения между сторонами. Также важно различать грани, рёбра и вершины — без этого легко неверно прочитать описание фигуры. Для нахождения диагонали прямоугольного параллелепипеда применяется теорема Пифагора. Эти представления понадобятся дальше при изучении площади поверхности и объёма пространственных фигур.

Что запомнить

• У параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Все грани параллелепипеда — параллелограммы.
• Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
• У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.
• Куб — прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.
• Диагональ параллелепипеда соединяет вершины, не лежащие на одной грани.