Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — множество точек на плоскости или в пространстве. Она может состоять из одной точки, например точки A, или из нескольких точек, образующих линию либо другую фигуру. Такое понятие позволяет описывать не только отдельные положения, но и целые формы. Поэтому геометрические фигуры используют, когда изучают чертежи, измерения и расположение объектов.

Точка — простейшая геометрическая фигура, у которой нет частей. На чертеже её обычно показывают маленькой отметкой, а обозначают заглавной латинской буквой: A, B, C. Буква помогает отличать одну точку от другой и ссылаться на неё в условии или решении. Сам размер отметки на бумаге не является размером математической точки.

Прямая — линия, которую можно продолжать в обе стороны без конца. На рисунке её изображают только частью, потому что всю прямую начертить невозможно. Прямую обозначают двумя заглавными буквами, соответствующими точкам на ней, например AB, или одной строчной латинской буквой. Эти обозначения позволяют понять, о какой прямой идёт речь.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называют концами отрезка. Отрезок с концами A и B обозначают AB или BA, а на чертеже показывают линией между отметками A и B. В отличие от прямой, отрезок имеет границы и его длину можно измерить. Указание обеих букв точно задаёт, между какими точками он расположен.

Как это устроено

Две различные точки задают прямую: достаточно представить линию, проходящую через обе отметки. Через них нельзя провести вторую прямую, не совпадающую с первой, потому что две разные линии пересеклись бы в двух точках, а прямые могут иметь не более одной общей точки, если они не совпадают. Если задана только одна точка, направления ещё не определены. Поэтому через неё можно провести прямые под сколь угодно разными углами.

Луч и отрезок возникают, когда на прямой выделяют её части. Если выбрать точку начала и одно направление, получим луч: он уходит от начала без конца, а противоположное направление в него не входит. Если выбрать две точки и оставить часть прямой между ними, получим отрезок. Так границы выбранной части определяют, будет ли фигура иметь один конец или два.

Если на прямой отмечены точки A и B, её можно назвать прямой AB или прямой BA; порядок букв не меняет линию. Луч AB начинается в A и проходит через B, поэтому менять буквы местами нельзя: луч BA начинается уже в B и направлен иначе. Отрезки AB и BA обозначают одну и ту же часть прямой, поскольку у неё те же два конца. Читая обозначение, проверяй, какая фигура названа и где расположены отмеченные точки.

Точка принадлежит прямой, если лежит на изображённой линии, и принадлежит отрезку, если находится на линии между его концами или совпадает с одним из них. Если точки A, B и C лежат на одной прямой, а B расположена между A и C, то отрезок AC состоит из частей AB и BC. Слово «между» указывает на порядок точек, а не только на то, что они лежат на общей линии. Это помогает определить, какие части прямой образовались.

Фигура может быть частью другой фигуры: например, отрезок лежит на прямой, а точка может принадлежать отрезку. Фигуры также могут иметь общие точки — тогда говорят, что они пересекаются. Пересечение не обязательно означает, что фигуры совпадают целиком: две прямые могут встретиться в одной точке. Такое рассмотрение позволяет описывать сложные чертежи через простые части.

Основные геометрические фигуры

При сравнении фигур сначала смотри, сколько у них границ и куда они продолжаются. Затем проверь обозначение: у луча первая буква указывает начало, а у отрезка обе буквы обозначают концы. Таблица помогает быстро отличить фигуры, которые на небольшом чертеже могут выглядеть похоже.

Разбор задач

Задача 1

Отметьте точки A и B и проведите через них прямую. Обозначьте её двумя способами. Здесь важно не принять проведённый штрих за всю прямую: на бумаге можно показать лишь её часть. Условие предполагает, что A и B — различные точки.

1. Отметьте на листе две разные точки и подпишите их A и B.
2. Приложите линейку так, чтобы её край проходил через обе точки, и проведите линию с продолжением за A и B в обе стороны.
3. Назовите полученную линию прямой AB. Поскольку порядок точек не меняет прямую, второе обозначение — прямая BA.

Ответ: прямая AB, или прямая BA. Единственность такой прямой следует из того, что через две различные точки проходит только одна прямая. Обозначения AB и BA относятся к одной линии, а не к двум разным фигурам.

Задача 2

На прямой отмечены точки A, B и C, причём B находится между A и C. Назовите получившиеся отрезки и лучи с началом в B. Сначала полезно представить порядок точек A—B—C: между соседними точками получаются отрезки AB и BC, а между крайними — отрезок AC. Лучи нужно отсчитывать именно от B, поэтому у обоих обозначений первая буква будет B.

1. Запишите отрезки между каждой парой отмеченных точек: AB, BC и AC.
2. Отметьте направления от B вдоль прямой: в одну сторону луч идёт через A, в другую — через C.
3. Поэтому лучи с началом B обозначаются BA и BC. Они противоположны, но не являются одним лучом, так как направлены в разные стороны.

Ответ: отрезки AB, BC, AC; лучи BA и BC. Отрезок AC включает точку B, потому что она лежит между его концами. Лучи BA и BC продолжаются без конца от точки B в противоположных направлениях.

Задача 3

Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Проведите все прямые через пары этих точек и определите, сколько прямых и отрезков получилось. Условие исключает совпадение всех трёх точек на одной линии, поэтому каждая пара задаёт отдельное направление между своими точками. Нужно перечислить пары, чтобы не пропустить одну или не посчитать её дважды.

1. Составьте все пары из трёх точек: AB, AC и BC.
2. Проведите через каждую пару прямую, продолжая черту за обе точки. Получатся прямые AB, AC и BC — всего три.
3. Для тех же пар назовите части между точками: отрезки AB, AC и BC. Их также три, но это ограниченные фигуры, а не прямые.

Ответ: три прямые и три отрезка. Перечень пар исчерпывающий: к каждой паре нельзя добавить ещё одну точку, не повторив уже выбранную. Прямую и отрезок с одинаковыми буквами различаем по условию и чертежу: одна фигура неограниченна, другая имеет два конца.

Типичные ошибки

Ошибка: считать прямую ограниченной нарисованной линией. Так происходит потому, что на листе виден только короткий штрих; однако рисунок показывает часть прямой, которую мысленно продолжают в обе стороны. Проверь себя: у прямой нет отмеченных концов, а на чертеже её края не обозначены как концы фигуры.

Ошибка: путать луч и отрезок. Их легко спутать, если смотреть только на часть линии около начала; но у луча есть начало и нет конца, а у отрезка есть два конца. Проверь себя по направлению: можно ли продолжать фигуру только в одну сторону бесконечно? Если да, это луч, если она ограничена с обеих сторон — отрезок.

Ошибка: думать, что через одну точку можно провести только одну прямую. На чертеже обычно показывают одну линию, поэтому может показаться, что других вариантов нет. Проверь себя: поверни линейку вокруг точки — каждое новое направление задаёт другую прямую, проходящую через неё.

Ошибка: считать обозначения прямой и отрезка одинаковыми только из-за одинаковых букв. Буквы показывают точки, но сами по себе не всегда сообщают, бесконечна ли фигура. Чтобы не ошибиться, прочитай условие и посмотри на чертёж: у отрезка отмечены два конца, а прямая продолжается за точки в обе стороны.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно научиться отмечать точки и читать их буквенные обозначения: это позволит правильно понимать чертежи. Точка, прямая и отрезок становятся основой для изучения углов, многоугольников и построений циркулем и линейкой. Понимание границ фигур помогает не путать стороны многоугольника с прямыми, на которых они лежат. Представления о прямой и отрезке пригодятся при измерении расстояний и решении задач на геометрические построения.

Что запомнить

• Точка обозначается заглавной латинской буквой.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Прямая продолжается без конца в обе стороны.
• Луч имеет начало и продолжается в одну сторону.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Точки, принадлежащие одной прямой, называют лежащими на одной прямой.