"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Точка, прямая, отрезок, луч и угол — простые геометрические фигуры, с помощью которых описывают расположение и форму объектов. По точкам задают прямую, на ней выделяют отрезки и лучи, а из двух лучей с общим началом получают угол. Эти понятия нужны для чертежей, измерений и построений. Главное — различать, где есть концы, где только начало, и правильно читать обозначения: у луча первой называют его начало, а в записи угла буква вершины стоит посередине.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая — бесконечная линия без начала и конца. Её можно обозначить маленькой латинской буквой или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней, например AB. Две разные точки задают прямую, поэтому такое обозначение помогает точно указать, о какой линии идёт речь.
Отрезок — часть прямой между двумя точками вместе с самими точками. Эти точки называют концами отрезка; отрезок с концами A и B обозначают AB. У него есть конечная длина, поэтому отрезки можно сравнивать и измерять линейкой.
Луч — часть прямой, ограниченная одной точкой и бесконечно продолжающаяся в одну сторону. Ограничивающая точка называется началом луча, а луч с началом A, проходящий через B, обозначают AB. Первая буква указывает начало, чтобы луч можно было отличить от луча, направленного в противоположную сторону.
Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называется вершиной, а лучи — сторонами угла. Угол с вершиной O и точками A, B на его сторонах записывают ∠AOB; буква вершины стоит между другими, чтобы обозначение показывало устройство фигуры.
Точка служит исходным объектом геометрии: мы рассматриваем её положение, а не размеры. На чертеже точки обозначают заглавными латинскими буквами, чтобы не путать их друг с другом. Если задать две разные точки, через них можно провести одну прямую. Поэтому точки помогают задать положение линии и описывать фигуры точными словами.
Чтобы получить отрезок, на прямой выбирают две точки и рассматривают только часть линии между ними, включая сами точки. Выбранные точки становятся концами и ограничивают эту часть с обеих сторон. В отличие от всей прямой, отрезок конечен, поэтому его можно измерить линейкой. Такое выделение нужно, когда важна не бесконечная линия, а расстояние между двумя точками.
Луч получают, если на прямой выбрать одну точку за начало и оставить часть линии, идущую от неё в одну сторону. В другую сторону эта часть не продолжается, зато в выбранном направлении луч бесконечен. На рисунке направление показывают точкой, через которую луч проходит, поэтому в записи сначала ставят начало, а затем эту точку. Так обозначения AB и BA указывают на разные лучи, если их начала различны.
Если два луча имеют одно начало, они образуют угол. Общая точка становится вершиной, а каждый луч — одной из сторон; именно поэтому угол удобно задавать буквами точек на обеих сторонах и вершины. Величина угла зависит от того, насколько раскрыты стороны. Если продолжить стороны, не меняя их направления, угол останется прежним, даже если нарисованные лучи станут длиннее.
Геометрические фигуры изображают на чертеже условно, потому что бумага или экран не могут показать бесконечную линию целиком. Кроме того, рисунок может быть выполнен не в точном масштабе, а некоторые точки и линии на нём могут казаться расположенными иначе, чем в задаче. Поэтому чертёж помогает представить условие и рассуждать, но не всегда служит доказательством длины или взаимного положения. Утверждения проверяют по данным задачи и свойствам фигур.
| Фигура | Как устроена | Особенности | Пример обозначения |
|---|---|---|---|
| Точка | Отдельное положение на плоскости | Обозначается заглавной латинской буквой | A |
| Прямая | Бесконечна в обе стороны | Не имеет концов | AB |
| Отрезок | Часть прямой между двумя точками | Ограничен двумя концами, имеет длину | AB |
| Луч | Часть прямой от начала в одну сторону | Имеет начало и бесконечно продолжается | AB |
| Угол | Два луча с общим началом | Имеет вершину и две стороны | ∠AOB |
Сначала найдите в строке фигуру и посмотрите, чем она ограничена или как продолжается. Затем проверьте, что обозначение соответствует описанию: например, у луча первая буква должна указывать начало. Одинаковая запись двумя буквами может обозначать разные фигуры, поэтому всегда учитывайте контекст.
На прямой отмечены точки A и B. Нужно назвать отрезок с концами A и B и луч с началом A, проходящий через B. Будем различать фигуры по их границам и направлению, а не только по общим точкам.
Отрезок ограничен точками A и B, поэтому его обозначение — AB. У него оба этих конца.
Искомый луч начинается в A и проходит через B. Первой записываем букву начала, поэтому получаем луч AB.
Сравниваем обозначения и описание: буквенная запись совпадает, но фигуры разные. У отрезка два конца, а у луча только одно начало и продолжение за B.
Ответ: отрезок AB; луч AB с началом A, проходящий через B.
Проведены лучи OA и OB с общим началом O. Нужно назвать угол и указать его вершину и стороны. Для записи угла используют три буквы: точки на сторонах и общую точку между ними.
Находим общую точку лучей. Это O, значит, она является вершиной угла.
Сторонами служат сами лучи OA и OB. Точки A и B помогают указать, какие именно стороны имеются в виду.
Ставим букву вершины между буквами точек на сторонах. Получаем обозначение ∠AOB; также можно записать ∠BOA, если речь идёт о том же угле.
Ответ: угол AOB; вершина — O, стороны — лучи OA и OB.
Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Известно, что AB = 4 см, BC = 7 см. Найдём AC и назовём фигуры, которые образуют точки; положение B между крайними точками позволяет сложить длины двух частей.
Отрезок AC состоит из двух неперекрывающихся частей: AB и BC. Точка B служит общей границей этих частей.
Складываем известные длины: AC = AB + BC = 4 см + 7 см = 11 см. Сложение подходит, потому что B находится между A и C.
Точки A, B, C делят прямую на отрезки AB, BC и AC. Прямая при этом продолжается за точки и не становится отрезком.
Ответ: AC = 11 см; образованы отрезки AB, BC и AC, лежащие на одной прямой.
Считают, что прямая имеет концы, потому что на рисунке она выглядит как короткая линия. Это происходит, если воспринимать изображённый кусок как всю фигуру. Проверьте себя: прямая продолжается в обе стороны, даже если чертёж заканчивается у края листа.
Путают луч и отрезок, забывая, что у первого одно начало, а у второго два конца. На рисунке их части могут выглядеть похоже, поэтому важно проверить, продолжается ли фигура бесконечно. Длину можно измерить у конечного отрезка, но не у прямой или луча.
В обозначении луча ставят начало второй буквой. Такую ошибку допускают, если читают обозначение как название двух концов, по аналогии с отрезком. Проверка простая: первая буква луча должна совпадать с точкой, из которой он начинается. Например, луч AB начинается в A, а не в B.
Считают, что угол определяется длиной сторон. На чертеже длинные лучи могут создавать впечатление большего угла, но длина рисунка не задаёт его величину. Проверяйте раскрытие между направлениями сторон: если стороны продолжить, угол не изменится. Измеряют величину угла, а не длину его сторон.
Для работы с чертежами нужно уметь различать точки, пользоваться линейкой и узнавать прямую линию. Понятие отрезка и его длины пригодится при измерениях, вычислении периметра и построении фигур. Лучи и углы станут основой для изучения видов углов, многоугольников и геометрических построений. Поэтому аккуратные обозначения помогают переходить от простых фигур к более сложным задачам.
Чем луч отличается от отрезка?
Отрезок ограничен двумя концами, поэтому у него есть измеримая длина. Луч имеет начало и продолжается бесконечно в одном направлении.
Почему прямую на рисунке изображают не бесконечной?
Лист и экран имеют конечный размер, поэтому изобразить на них бесконечную линию целиком нельзя. Чертёж показывает только часть прямой, а мысленно её продолжают в обе стороны.
Как правильно обозначить луч?
Луч обозначают двумя заглавными латинскими буквами, например луч AB. Первая буква A указывает начало луча, а B — точку, через которую он проходит.
Почему буква вершины угла ставится в середине его обозначения?
Угол задают двумя точками на его сторонах и общей вершиной. Поэтому в записи ∠AOB буква вершины O стоит между буквами A и B.
Можно ли измерить длину луча?
Нет: луч бесконечно продолжается в одну сторону, поэтому его длина не является конечным числом. Измерить можно отрезок, выделенный на луче.
Геометрические фигуры
