Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — множество точек на плоскости или в пространстве. Она может состоять из одной части или нескольких отдельных частей. Это понятие нужно, чтобы математически описывать формы предметов и их расположение.

Точка — простейшая геометрическая фигура, не имеющая длины, ширины и толщины. На чертеже её изображают маленьким крестиком или точкой и обозначают заглавной латинской буквой: A, B, C. Точки служат исходными объектами для построения линий и других фигур.

Прямая — бесконечная линия без изгибов, продолжающаяся в обе стороны. Её обозначают двумя заглавными буквами, названиями любых двух точек этой прямой: прямая AB или прямая BA. Прямая нужна для описания ровного направления и построения отрезков и лучей.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка и обозначают, например, AB. Отрезок удобен для изображения конечного расстояния между двумя точками.

Как это устроено

Две различные точки задают прямую, потому что через каждую из них должна пройти одна и та же ровная линия. Если бы через них проходили две разные прямые, они имели бы две общие точки, а это противоречит свойству прямой: две прямые могут иметь не более одной общей точки. Поэтому через две различные точки проходит ровно одна прямая.

Отрезок получают из прямой, выбрав на ней две точки и оставив часть между ними. У отрезка есть два конца, поэтому его длину можно измерить. Если оставить точку начала и одну сторону прямой, получится луч: он имеет начало, но бесконечно продолжается в выбранном направлении.

Два луча с общим началом образуют угол. Общее начало называют вершиной угла, а сами лучи — его сторонами. Например, в угле ∠ABC вершина B, потому что эта буква стоит посередине обозначения; лучи BA и BC являются сторонами.

Если последовательно соединить отрезками несколько точек, получится ломаная. Когда последний конец соединён с первым и звенья не пересекаются, кроме соседних в общих вершинах, ломаная замыкается и образует многоугольник. Её звенья становятся сторонами многоугольника, а точки соединения — его вершинами.

Фигуры сравнивают по форме и размеру. Если одну фигуру можно наложить на другую так, что все их точки совпадут, фигуры называют равными. Такое сравнение позволяет отличать одинаковые фигуры от похожих, но имеющих другие размеры или форму.

Основные геометрические фигуры и их признаки

В таблице сначала находите название фигуры, затем проверяете, из чего она образована и какие у неё границы. Последний столбец показывает, какие точки нужно назвать, чтобы обозначение было однозначным.

Особенно внимательно сравнивайте отрезок, луч и прямую: у них похожий рисунок, но разное число границ. Для угла и луча порядок букв помогает понять вершину и направление.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Отметьте точки A и B и проведите через них прямую. Обозначьте прямую двумя способами. Нужно использовать тот факт, что две различные точки определяют единственную прямую.

1. Поставьте на листе две разные точки и подпишите их A и B.
2. Приложите линейку так, чтобы её край проходил через обе точки, и проведите линию с продолжением в обе стороны.
3. Назовите получившуюся прямую по двум точкам: прямой AB и прямой BA.

Ответ. Построена одна прямая через точки A и B. Её обозначения — прямая AB и прямая BA. Порядок букв можно менять, потому что обе буквы называют точки одной и той же прямой.

Задача 2

Условие. На прямой отмечены точки A, B и C, причём B лежит между A и C. Нужно назвать получившиеся отрезки и лучи с началом в B. Положение точки B подсказывает, какие части прямой идут от неё в разные стороны.

1. Для отрезков назовите пары отмеченных точек: AB, BC и AC.
2. Для луча с началом B выберите вторую точку, задающую направление: луч BA.
3. Во вторую сторону назовите луч BC; лучи BA и BC направлены противоположно.

Ответ. Получились отрезки AB, BC и AC. Лучи с началом в B — луч BA и луч BC. Отрезок AC включает точку B внутри себя, но его концы — именно A и C.

Задача 3

Условие. Постройте замкнутую ломаную из четырёх звеньев, назовите фигуру и укажите её вершины и стороны. Для этого нужно соединить четыре точки по кругу и вернуться в исходную точку.

1. Отметьте четыре точки A, B, C и D, не располагая их на одной прямой.
2. Соедините последовательно A с B, B с C, C с D.
3. Проведите четвёртое звено DА, чтобы начало и конец ломаной совпали.

Ответ. Получился четырёхугольник ABCD. Его вершины — A, B, C и D, а стороны — AB, BC, CD и DA. Фигура является многоугольником, потому что ломаная замкнута и её звенья не пересекаются вне соседних вершин.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что прямая имеет начало и конец. Так происходит, потому что на бумаге виден только ограниченный кусок линии. Проверьте себя: мысленно продолжите её за оба края — у прямой нет концов.

Ошибка: путать отрезок и луч. Их изображают похожими линиями, но у отрезка два конца, а у луча только начало и бесконечное продолжение в одну сторону. Проверьте границы: если линия ограничена с двух сторон, это отрезок.

Ошибка: обозначать луч одной точкой. Одной буквой можно указать только его начало, но направление останется неизвестным. Проверьте запись: у луча должны быть начало и ещё одна точка, например луч AB.

Ошибка: сразу называть ломаную многоугольником. Ломаная может быть незамкнутой или самопересекающейся, поэтому одного количества звеньев недостаточно. Проверьте, соединены ли первый и последний концы и нет ли пересечений вне соседних вершин.

Связь с другими темами

До изучения фигур полезно уметь обозначать точки заглавными буквами и пользоваться линейкой. Эти навыки помогают точно строить прямые, отрезки и ломаные. По ним также легче читать геометрические чертежи.

Отрезок понадобится при измерении длины, а угол — при измерении величины угла. Многоугольники связаны с дальнейшим изучением периметра и площади. Понимание границ фигур помогает правильно выбирать формулу и нужные элементы.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая не имеет концов и продолжается в обе стороны.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Луч имеет начало и продолжается в одну сторону.
• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Многоугольник — замкнутая ломаная вместе с её внутренней областью.